Prova - Análise Vetorial 2021 2

Questão 3 Ainda não respondida Vale 2,00 pontos(s) Marcar questão Considere o campo vetorial \( \vec{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \), dado por: \( \vec{F}(x, y, z) = \left( e^y, xe^y + \cos z, -y \sen z \right) \) Determine se \( \vec{F} \) é um campo conservativo, em caso afirmativo encontre todas as funções potenciais. Finalizar tentativa Questão 1 Ainda não respondida Vale 2,00 pontos(s) Marcar questão Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas sentenças abaixo: A curva parametrizada \( \mathbf{r}(t) = \left( \frac{1}{2 - t}, \frac{t}{1 + t^2}, \frac{1}{1 + t^2} \right) \) está contida em uma circunferência com centro na origem. Dado o campo escalar \( \varphi(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \), temos que \( \Delta \varphi = 1 \) \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{-1/x^2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\text{e}} \right) = \left( 1, \frac{1}{e} \right) \) Tempo restante 255:30 Navegação do questionário Finalizar tentativa Questão 2 Ainda não respondida Vale 2,00 pontos(s) Marcar questão Uma partícula se move em uma hélice com vetor posição no tempo \( t \) dado por \( r(t) = (\cos(2t), \sen(2t), t), t \geq 0 \). Qual é o tempo para que a distancia percorrida pela partícula seja \( 5\pi? A. Nenhuma das alternativas é correta. B. \frac{3\sqrt{3\pi}}{\sqrt{5\pi}} C. \frac{\sqrt{5\pi}}{3} D. t = \pi E. 5\pi \) Página anterior Próxima página a) Desenhe e descreva completamente as curvas de nível do seguinte campo escalar: f(x, y) = e^{1-x^2-y^2} b) Calcule o Rotacional do seguinte campo vetorial: \vec{H}(x, y, z) = (x + y + z, x^3 + yz, yz + x \cos y) Consideremos \ V(x,y) = x^2 + y^2 \ e \ \vec{F} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \ um \ campo \ vetorial, \ para \ o \ qual \ se \ tenha \ grad \ (V) \cdot \vec{F} \leq 0. \\ Seja \ \beta (t) = (x(t), y(t)), \ t \in I \ uma \ curva \ parametrizada \ talque, \ \beta'(t) = \vec{F}(\beta (t)), \ para \ todo \ t\ no \ intervalo \ I. \\ Prove \ que \ a \ função \ g(t) = V(\beta (t)) \ é \ decrescente \ em \ I. \ Conclua \ que \ se \ \beta(t_0), \ t_0 \in I, \ for \ um \ ponto \ da \ circunferência \ x^2+y^2=r, \ então, \ para \ todo \ t \in I \ com \ t \geq t_0, \ \beta(t) \ pertencerá \ ao \ círculo \ x^2+y^2 \leq r.