Espaços Vetoriais e Funcionais Lineares - Notas de Estudo

f1100 1 f2100 0 e f3100 0 f1012 0 f2012 1 e f3012 0 f1035 0 f2035 0 e f3035 1 f1100 a1 1 f1012 b1 2c1 0 f1035 3b1 5c1 0 a1 1 b1 0 c1 0 f1x y z x f2100 a2 0 f2012 b2 2c2 1 f2035 3b2 5c2 0 a2 0 b2 5 c2 3 f2x y z 5y 3z f3100 a3 0 f3012 b3 2c3 0 f3035 3b3 5c3 1 a3 0 b3 2 c3 1 f3x y z 2y z x 5y 3z 2y z é a base dual associada à base 100 012 035 Considere V um Respaço vetorial n dimensional munido de um produto interno V x V R Cada vetor de V está relacionado a um funcional linear do espaço dual V da seguinte forma Lema 35 Dado um vetor u V a função fu V R tal que fuv v u é um funcional linear Prova TL1 para quaisquer v w V fuvw vw u v u w u fuv fuw TL2 para quaisquer r V e k R fuku kv u kv u k fuv 2 A recíproca também é verdadeira isto é Lema 36 Seja f V R um funcional linear Então para todo v V existe um único vetor u V tal que fv v u Prova exist Seja v1 vn uma base ortonormal de V e o vetor u fv1v1 fvnvn V Para i 1 n vi u vi fv1v1 fvnvn fv1vi v1 fvnvi vn fvnvi vn fvi unic Supor por absurdo que existam u w V u w tais que fv v u v w v u v w 0 v u w 0 Em particular vale a igualdade para v u w u w u w 0 u w 0 u w Contradição 2 25