Representacao de Riesz e Operador Adjunto-Teoria e Teoremas

Corolário 37 A função I V V tal que Tv jv é um isomorfismo Os itens anteriores constituem a Representação de Riesz 33 Operador Adjunto Considere V um Respaço vetorial n dimensional munido de um produto interno V x V R e T V V um operador linear Teorema 38 Existe um único operador linear T V V tal que Te w e Tw para quaisquer e w e V Prova Seja u e V e o funcional linear f V R tal que fe Te w Pelo Lema 36 existe um único vetor u e V tal que fe e u Assim Te w e u Considere T V V tal que Tw u Então Te w e Tw A unicidade de T é uma decorrência da unicidade de u T é um operador linear pois TL1 e Tv2 v3 Te v2 v3 Te v2 Te v3 e Tv2 e Tv3 e Tv2 v3 Então Tv v Tv Tv para quaisquer v v e V TL2 e Tkv Te kv kTe v ke Tv e kTv Então Tkv kTv para quaisquer k e R e v e V O operador T é denominado operador adjunto do operador T Exemplo 39 Seja T R2 R2 tal que Tx y 3x 8x y O operador T R2 R2 tal que Tx y 3x 8y y é o operador adjunto de T Teorema 310 Sejam T T1 e T2 operadores lineares em V 1 T1 T2 T1 T2 2 kT kT para todo k e R 3 T1 o T2 T2 o T1 4 T T 5 Ker T Im T Prova Sejam u u e V 1 T1 T2u u T1u u T2u u u T1u u T2u u T1u T2u u T1 T2u 28