Operadores Lineares Auto-adjuntos e Adjuntos-Teoria e Exemplos

3 T₁ o T₂v w T₁T₂v w T₁v T₂w v T₂ T₁w v T₂ o T₁w 5 Seja v 6 K e T V V Tv w 0 para todo u V Tv u v T u 0 u T u Mas T u e Im T u e Im T Teorema 311 Seja S V um subespaço Tinvariante Então S é T invariante Prova Sejam v S e u S T v w v Tu Como S é Tinvariante Tw e S Assim v Tu 0 T u w 0 T v e S Então T S S Logo S é T invariante É possible apresentar o operador adjunto na versão matricial Teorema 312 Seja a uma base ortonormal de V Então Ta Ta Quando V é um Cespaço vetorial Ta Ta Exemplo 313 Considere o operador linear T R² R² tal que Tx y 3x 8x y e a base canônica Assim T 3 0 8 1 e seu operador adjunto T 3 8 0 1 isto é T R² R² tal que Tx y 3x 8 y A base a 1 2 3 5 não é ortonormal Ta 3 12 0 1 e Ta 101 260 40 95 E Ta Ta Lembrando que x ya 5x 3y 2x y 34 Operador AutoAdjunto Considere o operador linear T V V Se T T o operador T é denominado operador autoadjunto OAA caso real e operador hermitiano caso complexo isto é para quaisquer v w V Tv w v Tw Exemplos 314 1 T R² R² tal que Tx y 2x 4y 4x y 2 T R³ R³ tal que Tx y z x y x 3y 2z 2y Propriedades importantes Proposição 315 Seja T V V um operador linear 27