Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos - Demonstração e Exemplos

Teorema 318 Seja T um operador auto adjunto e A um autovetor associado ao autovalor λ de T Então os subespaços v e v são Tinvariantes Teorema Espectral para Operadores AutoAdjuntos Seja T um operador linear auto adjunto Dados T diagonalizável sob o existe uma base ortonormal a de autovetores de V tal que Tα é uma matriz diagonal Prova Indução em n Base dim V 1 Existe um autovetor v V v 0 polo Teorema 317 v é uma base de V e v é uma base ortonormal de V Passo HI Supon que vale o teorema para espaços vetoriais com dimensão n 1 Considere v um autovetor unitário de T Assim dim v 1 Mas v é um subespaço Tinvariante Então Tv v v é um operador autoadjunto Pata hipótese de indução existe uma base ortonormal δ v₁ vₙₑₙ₁ de autovetores de Tv tal que Tvδ é uma matriz diagonal Mas V v v e dim V dim v dim v Logo α v v₁ vₙₑₙ₁ é uma base ortonormal de autovetores de V Corolário 319 Seja T um operador linear autoadjunto e λ₁λₐ r n seus autovalores Então V Vλ₁ Vλr O espectro de um operador linear é o conjunto λ₁λₐ de seus autovalores 35 Operador Ortogonal O operador linear T V V invertível é denominado operador ortogonal OO caso real ou operador unitário caso complexo quando T T¹ Assim para quaisquer u w V Tu w u T¹w Exemplos 320 1 T R² R² tal que Tx y y x 2 T R³ R³ tal que Tx y z x³₂ y y³₂ z³₂ x⁴₃ x⁵₆ y⁶₉ z²₆ x³₄ y x³₂ Teorema 321 Seja T um operador linear São equivalentes 1 T é ortogonal 29