Lista de Exercícios - Cálc 2

Considere a função f(x, y) = 256 \frac{x - y^2}{x + y} e o ponto P(6, 10) em seu domínio. A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a P é: 1. 110x + (-226)y - z + 96 = 0 2. 110x + (226)y - z + 96 = 0 3. -90x + (-226)y - z + 1296 = 0 4. 110x + (-26)y - z + (-904) = 0 5. Nenhuma das anteriores. Considere a função f(x, y) = \frac{8x^ay^b}{x^4 + y^{10}}. Supondo que a e b sejam inteiros positivos tais que as duas condições abaixo, • \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x, y) ao longo da curva y = x seja igual a 8, • \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x, y) ao longo da curva y = -x seja igual a -8, são satisfeitas simultaneamente, analise separadamente a veracidade de cada uma das afirmações a seguir: i) a + b = 4. ii) b é ímpar. iii) O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x, y) não existe. Com base na sua análise e classificando cada um dos itens anteriores como verdadeiro (V) ou falso (F) a ordem correta das classificações dos itens (i), (ii) e (iii) é: 1) V, V, V 2) V, V, F 3) V, F, V 4) V, F, F 5) F, V, V 6) F, V, F 7) F, F, V 8) F, F, F Seja f(x, y, z) = y^2z + 14sen(x). Se variarmos do ponto (0, 1, 2) para (x_0, y_0, z_0), onde x_0 = 0,01, y_0 = 1,02 e z_0 = 2,01 quanto será 100∆f, onde ∆f é a variação aproximada de f? O 21 O 23 O 25 O 19 Questão 6 Seja f(x,y) dada por { x^8y^4 / 6x^16 + 9y^8, (x,y) ≠ (0,0), f(x,y) = { { 0, (x,y) = (0,0). Qual das seguintes afirmativas sobre f(x,y) em (0,0) é verdadeira? 1. Nenhuma das opções abaixo. 2. É diferenciável, pois f é contínua em (0,0). 3. É diferenciável, pois ∂f/∂x(0,0) ≠ ∂f/∂y(0,0). 4. Não é diferenciável, pois a derivada parcial ∂f/∂x(0,0) não existe. 5. É diferenciável, pois as derivadas parciais ∂f/∂x(0,0) e ∂f/∂y(0,0) existem. 6. Não é diferenciável, pois f não é contínua em (0,0). 7. Não é diferenciável, pois a derivada parcial ∂f/∂y(0,0) não existe. Considere uma função f tal que f(0,0) = 0 e f(x,y) = (a-2)(x^18y^18 + a-4)(ay^2sen(1/(x^18y^18))+a-5), se (x,y) ≠ (0,0). Determine o valor de a, tal que a seja um número inteiro e 2 ≤ a ≤ 5, de modo que a função f seja descontínua em (0,0). Resposta: Dizer se a afirmação é falsa ou verdadeira: O vetor (15,12) é perpendicular à curva de nível k = 11 da função f(x,y) = 5x^3 + 6y^2, no ponto (1,1). 1) V 2) F Seja g(s,t) = f\left(t^2 \sen(3st), e^{s^4 t^5}\right). Calcule \frac{\partial g}{\partial t}(0,-1) sabendo que \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) = 13. \bigodot\ 0 \bigodot\ 39 \bigodot\ 13 \bigodot\ -13 \bigodot\ 26 A função z = g(x,y), com g(15,5) = -5, é dada implicitamente pela equação f\left(\frac{x}{y},-15z\right) + 5 = -15, em que z = f(s,t) é uma função diferenciável em \mathbb{R}^2. Sabendo que \frac{\partial f}{\partial t}\left(\frac{15}{5},75\right) \neq 0, calcule \frac{15\ \partial g}{\partial x}(15,5) + 5 \frac{\partial g}{\partial y}(15,5). \bigodot\ a.\ 0 \bigodot\ b.\ -5 \bigodot\ c.\ 5 \bigodot\ d.\ -15 \bigodot\ e.\ 15 Considere a função definida por f(x,y) = 11x^2 y - 8xy^2 + mx e seja \vec{u} o vetor unitário na direção do vetor \vec{v} = (1,-1) = \hat{i} - \hat{j}. encontre: (i) O valor de m de modo que a derivada direcional de f no ponto (-1,1) e na direção do vetor unitário \vec{u}, \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,1), seja nula: \textbf{(A)} -57 \textbf{(B)} 57 Nos itens a seguir utilize o valor de m encontrado no item (i): (ii) A direção \vec{w} onde o valor de \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,1) é máximo: \textbf{(A)} (-87,27) \textbf{(B)} (27,27) (iii) O valor de M^2, sendo M o valor máximo de \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,1) \textbf{(A)} 1458 \textbf{(B)} 8298 Escolha a opção que mostra ordenadamente as respostas corretas de (i) (ii) e (iii) Sejam a = 11, b = 2 e D a região do plano xy pintada de azul na figura a seguir: Considere as opções de f(x, y) numeradas a seguir: 1. f(x, y) = ln √(484 - 121 x² - 4y²) 2. f(x, y) = √(484 - 4x² - 121y²) 3. f(x, y) = arctan(121x² + 4y²) 4. f(x, y) = 484 / (4x² + 121y³) 5. f(x, y) = ln(11x² + 2y² - 22) O número associado à f(x, y) cujo domínio pode ser representado pela região D é: