Lista de Exercícios - Cálculo de Derivadas Parciais e Pontos Críticos

4º Lista de Exercícios 1 Calcular fxx fxy fyy onde a fx y ex x cosy y seny b fx y ln x² y² arctan yx 2 Considere a função fx y x³y xy³ x² y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 Calcular caso existam os valores de ²f xy 0 0 e ²f yx 0 0 3 Considere a função fx y eˣ eʸ xy x² y² se x y 0 0 2 se x y 0 0 Calcular caso existam os valores de fxx0 0 e fyy0 0 4 Seja fx y ex sen y Considere Fs t f gs t hs t onde g e h são funções de classe C² em R² tais que g1 1 0 h1 1 π gs1 1 1 hs1 1 3 gt1 1 2 ht1 1 1 Além disso gst1 1 2 e hst1 1 3 Determine o valor de ²F ts 1 1 5 Seja z fx y uma função de classe C² Considere Fr θ f r cosθ r senθ Calcule Frr e Fθθ em função de fx fy fxx fxy fyx e fyy 6 Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções a fx y x² xy y² 6x 2 b fx y x³ y³ 15xy c fx y x³ y³ 9x² 3y² 15x 9y d fx y xy x³ y² e fx y 4xy² 2x²y x f fx y x² xy y² 1x 1y RESPOSTAS 1 a fxx ex x 2 cosy y seny fxy ex x 2 seny y cosy fyx fyy ex y seny x 2 cosy b fxx 2y² 2xy 2x² x² y²² fxy y² x² 4xy x² y²² fyx fyy 2x² 2xy 2y² x² y²² 2 ²f xy 0 0 1 ²f yx 0 0 1 3 fxx0 0 1 fyy0 0 1 4 10 5 Frr cos²θfxx 2 senθ cosθfxy sen²θfyy Fθθ r² cos²θfyy sen²θfxx 2 senθ cosθfxy r senθfy cosθfx Para simplificar notações fx fy fxx fxy fyy estão avaliados em r cosθ r senθ 6 a 4 2 é um ponto de mínimo relativo b 0 0 é um ponto de sela e 5 5 é um ponto de mínimo relativo c 1 1 e 5 3 são pontos de sela 1 3 é um ponto de mínimo relativo 5 1 é um ponto de máximo relativo d 0 0 é um ponto de sela e 16 112 é um ponto de máximo relativo e 0 12 e 0 12 são pontos de sela f 13 13 é um ponto de mínimo relativo