Lista de Exercicios Calculo de Derivadas Parciais de Funcoes de Duas Variaveis

4 Lista de Exercícios 1 Calcular fxx fxy fyy onde a fx y excosy y seny b fx y ln x2 y2 arctan yx 2 Considere a função fx y x3y xy3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Calcular caso existam os valores de 2fxy 0 0 e 2fyx 0 0 3 Considere a função fx y ex ey xy x2 y2 se x y 0 0 2 se x y 0 0 Calcular caso existam os valores de fxx0 0 e fyy00 4 Seja fx y ex sen y Considere Fs t f gs t hs t onde g e h são funções de classe C2 em R2 tais que g1 1 0 h1 1 π gs1 1 1 hs1 1 3 gt1 1 2 ht1 1 1 Além disso gst1 1 2 e hst1 1 3 Determine o valor de 2Fts 1 1 5 Seja z fx y uma função de classe C2 Considere Fr θ f r cosθ r senθ Calcule Frr e Fθθ em função de fx fy fxx fxy fyx e fyy 6 Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções a fx y x2 xy y2 6x 2 b fx y x3 y3 15xy c fx y x3 y3 9x2 3y2 15x 9y d fx y xy x3 y2 e fx y 4xy2 2x2y x f fx y x2 xy y2 1x 1y RESPOSTAS 1 a fxx exx 2 cosy y seny fxy exx 2 seny y cosy fyx fyy ex y seny x 2 cosy b fxx 2y2 2xy 2x2 x2 y22 fxy y2 x2 4xy x2 y22 fyx fyy 2x2 2xy 2y2 x2 y22 2 2fxy 0 0 1 2fyx 0 0 1 3 fxx0 0 1 fyy0 0 1 4 10 5 Frr cos2θfxx 2 senθ cosθfxy sen2θfyy Fθθ r2cos2θfyy sen2θfxx 2 senθ cosθfxy rsenθfy cosθfx Para simplificar notações fx fy fxx fxy fyy estão avaliados em r cosθ r senθ 6 a 4 2 é um ponto de mínimo relativo b 0 0 é um ponto de sela e 5 5 é um ponto de mínimo relativo c 1 1 e 5 3 são pontos de sela 1 3 é um ponto de mínimo relativo 5 1 é um ponto de máximo relativo d 0 0 é um ponto de sela e 16 112 é um ponto de máximo relativo e 0 12 e 0 12 são pontos de sela f 13 13 é um ponto de mínimo relativo