Otimização e Extremos de Funções - Lista de Exercícios Resolvidos

EXERCÍCIOS 173 Nos Exercícios de 1 a 12 determine os extremos relativos de f que ser oferecem 1 fx y x3 y3 6x2 y 1 2 fx y x3 4xy y3 4y 3 fx y 1x 64xy 4 fx y 8x3 32y3 30x 128y 110 5 fx y exy 6 fx y x3 y3 18xy 7 fx y 4xy2 12xy x 8 fx y 2x 2y 1 x2 y2 1 9 fx y x3 y3 3y3 3x 9y 2 10 fx y sen x sen y 0 x π 0 y π 11 fx y senx y4 x7 sen y 0 x 2π 0 y 2π 12 fx y esen y 13 Ache três números positivos cuja soma é 24 de modo que o produto deles seja o maior possível 14 Ache três números positivos cujo produto é 24 e sua soma é a menor possível 15 Ache o ponto no plano 3x 2y z 5 que está mais próximo do ponto 1 2 10 e determine a distância mínima 16 Ache os pontos na superfície y2 xz 4 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima 17 Ache os pontos da curva de interseção do elipsóide x2 dy2 4z2 4 com o plano x 4y 2 o que está tão mais próximos da origem e determine a distância mínima 18 Uma fábrica tem duas classificações para seus operários A e B Os operários da classe A recebem 14 por jornada e os da classe B 13 por jornada Para um certo lote de produção está determinado que se x operários da classe A e y operários da classe B trabalharem o custo do lote será de y2 x2 8xy 60 Quantos operários de cada classe devem ser empregados de tal forma que o custo do lote seja mínimo se pelo menos três operários de cada classe são exigidos para a sua fabricação 19 Uma injeção de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades e R xyx 2y onde x é uma constante positiva Que quantidade de cada droga causará a resposta máxima 20 Suponha que t horas após a injeção de x mg de adrenalina a resposta seja R unidades e R xetc xt onde c é uma constante Que valores de x e t irão causar a resposta máxima 21 Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide 36x2 9y2 4z2 36 se os lados forem paralelos aos eixos coordenados 22 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de 110 para o material Se o material para a base custa 015 por centímetro quadrado e o material dos lados custa 030 por centímetro quadrado ache as dimensões da caixa de maior volume que pode ser feita 23 Uma caixa retangular fechada para conter 16 cm3 deve ser feita com três tipos de materiais O custo do material da tampa e da base é de 018 por cm2 o custo do material das paredes da frente e de trás é de 016 por cm2 e o custo do material para os outros dois lados é de 012 por cm2 Ache as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja um mínimo 24 Suponha que T graus seja a temperatura em qualquer ponto x y z da esfera x2 y2 z2 4 e T 100xyz Ache os pontos da esfera onde a temperatura é máxima e também os pontos onde ela é menor Ache a temperatura nesses pontos 25 Suponha que a fabricação de um produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo de produção seja dado por fx y onde fx y 2x2 6xy 500 Determine o número de máquinashora e pessoashora necessárias para que o custo seja mínimo 26 Uma loja vende dois tipos de camisas que são similares mas de diferentes fabricantes O custo para a loja do primeiro tipo é 40 enquanto que o segundo tipo custa 50 Ficou determinado pela experiência que se os preços de venda forem x e y onde x é número de peças vendidas a cada mês será 3200 50x 25y e 250 respectivamente A que preço deverá ser vendido cada tipo de camisa para que o lucro bruto seja máximo 27 Uma pintura abstrata foi vendida pelo artista em 1915 por 1000 Dada a sua importância histórica o seu valor tem crescido no decorrer dos anos Esse valor era de 4600 em 1935 11000 em 1955 e 20000 em 1975 Na hipótese de que a valorização da pintura seguirá o mesmo padrão até 1995 use o método dos mínimos quadrados para estimar o seu valor em 1995 28 Nos EUA um carro modelo 1985 foi vendido como caro usano em 1966 por US 6800 Seu valor era de US 6200 em 1987 US 5700 em 1988 e US 4300 em 1990 Use o método dos mínimos quadrados para estimar qual era o seu valor em 1989 29 Um filme vem sendo exibido no Cinema Um por 5 semanas e o público aproximado para a semana mais próxima presente em cada semana está registrado na tabela Semana 1 2 3 4 5 Público 5000 4500 4100 3900 3500 Supondo que o público semanal continuará a declinar segundo o mesmo padrão onde atingir 1500 use a reta de regressão para os dados da tabela a fim de determinar o público na sexta semana b O filme irá para o Cinema Dois menor quando o público estiver abaixo de 2250 Quantas semanas esperase que dure a exibição no Cinema Um 30 Cinco tipos de árvores tiveram sua seiva analisada para medir a quantidade de hormônio que causa a queda das folhas Para as árvores da tabela a seguir quando foram medidos x microgramas µg de hormônio y folhas haviam caído x 28 57 18 75 82 y 208 350 300 620 719 a Ache uma equação da reta de regressão para os dados da tabela b Use a reta de regressão para estimar o número de folhas que caem de uma árvore cuja quantidade de hormônio liberado foi de 100 µg 31 Cinco corredores foram examinados para determinar a quantidade máxima de aspiração de oxigênio que é uma medida usada para caracterizar a situação cardiovascular de uma pessoa Os resultados estão na tabela a seguir onde x é o número de segundos no melhor tempo feito em um kilômetro e y é o número de mililitros por minuto por quilograma de peso corporal da aspiração máxima de oxigênio do corredor Corredor A B C D E x 3005 3506 4073 3262 5128 y 3502 3252 3756 4165 4002 a Ache uma equação da reta de regressão para os dados da tabela b Use a reta de regressão para estimar a máxima aspiração de oxigênio de um corredor cujo melhor tempo em uma milha é de 3404 s 32 O número de pontos obtidos por um estudante no vestibular foi usado para predizer a média obtida no fim do primeiro ano de graduação A tabela a seguir dá os dados para seis estudantes onde x é o número de pontos no vestibular e y é a média Estudante A B C D E F x 92 81 73 78 79 85 y 34 27 31 38 22 30 a Ache uma equação da reta de regressão para os dados da tabela b Use a reta de regressão para estimar a média de um estudante que obteve 88 pontos no vestibular 33 Um monopolista produz grampeadores e grampos cuja equações de demanda são 10q1 e y 20p1 onde 1000 grampeadores são demandados se o preço for p por grampeador e 1000 caixas de grampos são demandadas se o preço por caixa for q O custo de produção é 2 para cada grampeador e 1 para cada caixa de grampos Determine o preço de cada produto a fim de obter um lucro total máximo 34 Se as equações de demanda no Exercício 33 forem x 11 2p 2q e y 19 2p 3q mostre que para ter o lucro total máximo os grampeadores devem ser gratuitos e os grampos devem ser caros 35 Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa a ser feita com uma dada quantidade de material para que a caixa tenha o maior volume possível 36 Prove que a caixa com volume máximo que pode ser colocada dentro de uma esfera tem a forma de um cubo 37 Prove que fx0 y0 0 se fx0 y0 existir e y0 tiver um valor máximo relativo em x0 y0 38 Prove o Teorema 1733 quando fx0 y0 é um valor mínimo relativo 39 Prove o Teorema 1735iii 40 Prove o Teorema 1735iii 41 Obtenha a equação 6 substituindo de 5 em 4 EXERCÍCIOS 175 Nos Exercícios de 1 a 4 use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada sujeitos aos vínculos dados 1 fx y 25 x2 y2 com vínculo x2 y2 4y 0 2 fx y 4x2 2y2 5 com vínculo x y2 2y 0 3 fx y z x2 y2 z2 com vínculo 3x 2y z 4 0 4 fx y z x2 y2 z2 com vínculo y2 x2 1 Nos Exercícios de 5 a 8 use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos relativos de f sujeitos ao vínculo indicado Ache também os pontos nos quais os extremos ocorrem Suponha que os extremos relativos existam 5 fx y x2 y com vínculo x2 y2 9 6 fx y x2y com vínculo x2 8y2 24 7 fx y z xyz com vínculo x2 2y2 4z2 4 8 fx y zi y2 xz2 com vínculo x2 y2 z2 1 Nos Exercícios 9 e 10 ache um valor mínimo relativo de f sujeito ao vínculo indicado Suponha que um valor mínimo relativo exista 9 fx y z x2 y2 z2 com vínculo xyz 1 10 fx y z xyz com vínculo x2 y2 z2 1 Nos Exercícios 11 e 12 ache um valor máximo relativo de f sujeito ao vínculo indicado Suponha que um valor máximo relativo exista 11 fx y z x y z com vínculo x2 y2 z2 9 12 fx y z xyz com vínculo 2xy 3xz yz 72 13 Ache um valor mínimo relativo da função f para a qual fx y z x2 4y2 16z2 com o vínculo a xyz 1 b xy 1 e c x 1 14 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto 1 3 0 e o plano 4x 2y z 5 15 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto 1 1 1 e o plano x 4y 3z 2 16 Ache a menor e a maior distância da origem a um ponto da elipse x2 4y2 16 17 Ache a menor e a maior distância da origem a um ponto do elipsóide 9x2 4y2 z2 36 18 Se fx y z 2x2 3y2 z2 use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto do plano x y z 5 no qual fx y z é mínimo 19 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional mínimo relativo df se fx y z x2 y2 z2 com dois vínculos x 2y 3z 6 e x y z 1 20 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional mínimo relativo de f se fx y z x2 y2 z2 com dois vínculos x y 2z 11 e 3x 2y z 4 21 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar um valor funcional máximo relativo de f se fx y z xyz com dois vínculos x y z 4 e x y z 3 22 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor funcional máximo relativo de f se fx y z x2 y2 z2 com dois vínculos x y z l e x y z 0 Nos Exercícios de 23 a 32 use o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver o exercício indicado nos Exercícios 173 23 Exercício 13 24 Exercício 14 25 Exercício 15 26 Exercício 16 27 Exercício 17 28 Exercício 22 29 Exercício 23 30 Exercício 24 31 Exercício 35 32 Exercício 36 33 Um disco circular é a região limitada pela circunferência x2 y2 1 Se T graus for a temperatura em qualquer ponto do disco e T 2x2 y2 y ache o ponto mais quente e o mais frio do disco 34 Uma companhia possui três fábricas produzindo o mesmo produto Se as fábricas A B e C produzem x y e z unidades respectivamente seus custos de fabricação são 35x2 20x y2 40y e 2z2 300 Se um pedido de 1000 unidades deve ser entregue use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como a produção deve ser distribuída entre as três fábricas a fim de minimizar o custo total de fabricação