Listas de Exercícios - Cálculo 2

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Professor Mariana Martins Lista 1 de Cálculo II IME0109299 20251 Atenção Todas as questões devem ser justificadas 1 Seja a função fxy dada por fxy x y x y Determine a f34 b f1213 c fxy d fxy 2 Determine o domínio D da função f e faça um esboço de D em R² a fxy 1 x² y² 1 b fxy 4 4 x² y² c fxy x² y² 1 d fxy 1 1 x² y² e fxy lnx² y f fxy y x² 2x y g x y 1 z² 0 z 0 h fxy ln2x² y² 1 i fxy x y 3 Considere a função f de duas variáveis dada por z y x 1 a Determine o domínio e a imagem de f b Desenhe as curvas de nível 4 Mostre que duas curvas de nível em níveis distintos de uma mesma função f não se interceptam 5 Suponha que Txy 4x² 9y² represente uma distribuição de temperatura no plano xy onde Txy é a temperatura que podemos supor em C no ponto xy Desenhe a isoterma correspondente à temperatura de 36C 6 Desenhe as curvas de nível das funções de duas variáveis a seguir e esboce seu gráfico a fxy 1 x² y² b fxy x 3y c fxy x y 1 d fxy x² y² 7 Desenhe as curvas de nível e determine a imagem das funções a fxy x 2y b fxy x y 1 c fxy xy x² y² d fxy 3x² 4xy y² 8 Represente geometricamente o domínio das funções de três variáveis dadas a fxyz 1 x² y² z² b fxyz 1 x y z x 0 y 0 z 0 c fxyz 1 z d fxyz 1 x y z e fxyz lnx² y² z² 9 Desenhe as superfícies de nível correspondente a k 1 das funções de três variáveis abaixo a fxyz x b fxyz z c fxyz x² y² d fxyz x² 4y² z² Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Professor Mariana Martins Lista 2 de Cálculo II IME0109299 20251 Atenção Todas as questões devem ser justificadas 1 Calcule os limites abaixo usando propriedades de limite a lim xy23 3x² xy 2y² b lim xy21 3x 2y x 4y c lim xy14 5x² 2xy y² d lim xy24 y x³ 2y e lim xy00 ex ey cos x sen y f lim xy01 x⁴ y 1⁴ x² y 1⁴ g lim xy00 sen² x cos² y e²x e²y 2 Prove que para as funções f de duas variáveis abaixo lim xy00 fxy não existe a fxy x⁴ y⁴ x² y⁴³ b fxy x⁹ y x⁶ y²² c fxy x⁴ 3x² y² 2xy³ x² y²² d fxy x² y² x⁴ y⁴ e fxy x² y² x² y² 3 Calcule os limites abaixo a lim xy00 sen x² y² x² y² b lim xy00 x sen1 x² y² c lim xy00 x² x² y² d lim xy00 x² cos xy x⁴y³ e lim xy00 y ln x² y² 4 Seja a definição de limite abaixo Definição 01 Seja f uma função de duas variáveis que está definida em alguma bola aberta Bx₀ y₀ r de raio r exceto possivelmente no próprio ponto x₀ y₀ Então o limite de fxy quando xy tende a x₀ y₀ é um valor real L e escrevemos lim xyx₀y₀ fxy L se para todo ε 0 por menor que seja existe δ 0 tal que se 0 x x₀² y y₀² δ então fxy L ε E o Teorema Teorema 02 Seja f uma função de duas variáveis definida numa bola aberta centrada em Bx₀ y₀ exceto possivelmente em x₀ y₀ Se fxy tem limites diferentes quando xy tende para x₀ y₀ por caminhos diferentes então lim xyx₀y₀ fxy não existe a Dê uma definição similar à definição 01 para o limite de uma função de três variáveis quando um ponto xyz tende ao ponto x₀ y₀ z₀ b Enuncie um teorema similar ao Teorema 02 para uma função f de três variáveis 5 Calcule o limite dado usando a definição que você deu no exercício 4 Observação 03 Não é para provar usando ε e δ apenas calcular os limites a lim xyz214 4x²y 3xyz² 7y²z³ b lim xyzπ31π sec xy sec yzy sec z c lim xy020 x²y² y² z²x² z² d lim xy000 ex ey ez²e2x e2y e2z 6 Use as definições e o teorema dado no exercício 4 para provar que lim xyz000 fxyz não existe a fxyz x³ yz²x⁴ y⁴ z⁴ b fxyz x²y²z²x⁶ y⁶ z⁶ 7 Determine todos os pontos em que a função é contínua a fxy x²y 1 b fxy sen yx c fxy ln25 x² y² d fxy xyx² y² se xy 00 0 se xy 00 e fxy sen x yx y se x y 0 1 se x y 0 f fxy x yx² y² se xy 00 0 se xy 00 g fxy x 3yx² y² se xy 00 0 se xy 00 h fxy x³x² y² se xy 00 0 se xy 00 8 Seja a função F definida por Fxy x² 3y² se x² 3y² 1 2 se x² 3y² 1 Mostre que a região de continuidade de F consiste em todos os pontos do ℝ² exceto aqueles sobre a hipérbole x² 3y² 1 Resolução Completa das Listas de Cálculo II Lista 1CII Exercício 1 Dada fxy xyxy a f34 3434 17 17 b f12 13 12 1312 13 56 16 5 c fxy xyxy xyxy 11 xyxy d fxy xyxy Exercício 2 Domínios a fxy 1x² y² 1 Domínio x² y² 1 0 x² y² 1 todos os pontos fora do círculo unitário b fxy 44 x² y² Domínio 4 x² y² 0 x² y² 4 interior do círculo de raio 2 c fxy x² y² 1 Domínio x² y² 1 0 x² y² 1 região entre as hipérboles d fxy 11 x² y² Domínio 1 x² y² 0 x² y² 1 interior do círculo unitário e fxy lnx² y Domínio x² y 0 região acima da parábola y x² f fxy y x² 2x y Domínio y x² 0 2x y 0 região entre y x² e y 2x g x y 1 z² 0 z 0 Domínio z 1 x y definida para 1 x y 0 x y 1 Lista 2CII Exercício 1 Limites a limxy233x2 xy 2y2 12 6 18 0 b limxy21 3x2yx4y 6224 46 23 c limxy14 5x22xyy2xy 581614 295 d limxy24 yx32y 488 0 e limxy00 exeycos x sin y 210 2 f limxy01 x4y14x2y12 limxy01x2y12 1 g limxy00 sin2 x cos2 ye2xe2y 0111 12 Exercício 2 Limites que não existem Para cada função testamos dois caminhos diferentes a fxy x4 y4x2y43 Caminho y x limx0 x8x2x43 Caminho y 0 limx0 0 0 Limites diferentes não existe b fxy x2 y9x6y42 Caminho y x32 limx0 x2 x272x6x62 Caminho y 0 limx0 0 0 Limites diferentes não existe c fxy x4 3x2 y2 2xy3x2y22 Caminho y x limx0 6x44x4 32 Caminho y 0 limx0 x4x4 1 Limites diferentes não existe d fxy x2 y2x4 y4 Caminho y x limx0 x42x4 12 Caminho y 0 limx0 0 0 Limites diferentes não existe e fxy x2 y2x2 y2 Caminho y 0 limx0 x2x2 1 Caminho x 0 limy0 y2y2 1 Limites diferentes não existe Exercício 3 Cálculo Detalhado de Limites a limx y 00 sinx2 y2 x2 y2 Substituição r2 x2 y2 limr 0 sin r2 r2 1 b limx y 00 x sin 1 x2 y2 Limitada por x 0 limite 0 c limx y 00 x2 x2 y2 Em coordenadas polares r cos2 θ 0 d limx y 00 x2 cos x y x4 y3 Limitada por x2 0 limite 0 e limx y 00 y lnx2 y2 Em coordenadas polares r sin θ ln r2 0 Exercício 6 Limites em Três Variáveis a fx y z x3 y2 z2 x4 y4 z4 Caminho x y z t limt 0 3t3 3t4 Não existe b fx y z x3 y2 z2 x6 y6 z6 Todos os caminhos testados levam a 0 Limite existe e é 0 Exercício 7 Continuidade Demonstrações Detalhadas a fx y x2 y 1 Contínua exceto em y 1 pois o denominador se anula b fx y sin y x Contínua exceto em x 0 onde a função não está definida c fx y ln25 x2 y2 Contínua em x2 y2 25 pois o argumento do logaritmo é positivo d fx y xy x2 y2 x y 0 0 0 x y 0 0 Contínua em todo ℝ2 Em 0 0 Em coordenadas polares fr θ r cos θ sin θ r 0 quando r 0 10 Em x y 0 0 Contínua por ser quociente de funções contínuas com denominador não nulo e fx y sin xy xy xy 0 1 xy 0 Contínua em todo ℝ2 Para x y 0 composição de funções contínuas Em x y 0 limh 0 sin h h 1 f0 0 f fx y xy x2 y2 x y 0 0 0 x y 0 0 Descontínua em 00 Pelo caminho y x limx 0 2x 2x2 0 O limite não existe portanto é descontínua g fx y x 3y x2 y2 x y 0 0 0 x y 0 0 Descontínua em 00 Pelo caminho y 0 limx 0 x x2 0 O limite não existe portanto é descontínua h fx y x3 x2 y2 x y 0 0 0 x y 0 0 Contínua em todo ℝ2 Em 0 0 Em coordenadas polares fr θ r cos3 θ r 0 quando r 0 Em x y 0 0 Contínua por ser quociente de funções contínuas com denominador positivo Exercício 8 Demonstração de Continuidade com Limites Para Fx y x2 3y2 x2 3y2 1 2 x2 3y2 1 Análise de continuidade 1 No interior das regiões x2 3y2 1 Polinômios são contínuos portanto F é contínua em ambas as regiões 2 Na hipérbole x2 3y2 1 Limite pelo interior limx y 10 x2 3y2 1 Limite pelo exterior limx y 10 2 2 Como 1 2 os limites laterais não coincidem descontínua Exemplo concreto no ponto 10 F1 0 12 302 1 pertence a primeira regiao Limite pelo caminho y 0 x 1 Para x 1 Fx 0 2 limx1 Fx 0 2 Limite pelo caminho y 0 x 1 Para x 1 Fx 0 x2 limx1 Fx 0 1 Como os limites laterais sao diferentes 2 1 a funcao e descontınua em 1 0 Conclusao F e contınua em todo R2 exceto nos pontos da hiperbole x2 3y2 1 7