Operador-Ortogonal-Transformacao-Bases-Ortonormais-e-Autovalores

2 T transforma bases ortonormais em bases ortonormais 3 T preserva produto interno isto é Tu Tv u v para quaisquer u v V 4 T preserva norma isto é Tv v para todo v V Prova 1 2 Seja v1 vn uma base ortonormal de V Ta Tv1 Tvn também uma base de V pois T é um isomorfismo Tvi Tvj vi TTvj vi T1Tvj vi vj 0 i j Tvi² Tvi Tvi vi vi vi² 1 Ta é uma base ortonormal de V 2 3 Sejam a e Ta bases ortonormais de V u k1 v1 kn vn e v l1 v1 ln vn u v k1 v1 kn vn l1 v1 ln vn k1 l1 v1 v1 k1 ln v1 vn kn l1 vn v1 kn ln vn vn k1 l1 k1 ln 0 kn l1 0 kn ln 1 k1 l1 kn ln Tu k1 Tv1 kn Tvn e Tv l1 Tv1 ln Tvn Tu Tv k1 Tv1 kn Tvn l1 Tv1 ln Tvn k1 l1 Tv1 Tv1 k1 ln Tv1 Tvn kn l1 Tvn Tv1 kn ln Tvn Tvn k1 l1 k1 ln 0 kn l1 0 kn ln 1 k1 l1 kn ln Logo u v Tu Tv 3 4 Tv² Tv Tv v v v² 4 1 Tv² v² Tv Tv v v T Tv v v v 0 T Tv v v 0 T o Tv Iv v 0 T o T Iv v 0 Mas T o T I T o T I T o T I T o T I é OAA Então T o T I T0 T o T I T T1 Analogamente T o T I Logo T é OO Teorema 322 Seja T um operador ortogonal Então 1 T preserva distâncias isto é dTu Tv du v para quaisquer u v V 2 Os únicos autovalores possíveis para T são 1 3 Os autovetores de T associados a autovalores distintos são ortogonais 4 Se S V é um subespaço Tinvariante então S é Tinvariante Prova 30