Slide - Equação da Linha Elástica - 2024-1

FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras Ponto de máximo: Derivada de y(x) = 0; x = 0; y = -\frac{P \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I} FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras Assim, a equação da linha elástica: y(x) = \frac{1}{E \cdot I} \left[ \left( -\frac{P \cdot x^3}{6} \right) + \frac{P \cdot L^2}{2} \cdot x - \frac{P \cdot L^3}{3} \right] FCA UNICAMP • LIMEIRA Flexão de Barras • Diagrama de corpo livre e reações: P \rightarrow + \sum F_{x} = 0 R_x = 0 \uparrow + \sum F_{y} = 0 R_y = P \curlyvee + \sum M = 0 M_A = -P \cdot L FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras Raio de curvatura: 1/ρ = M/E⋅I 1/ρ = 3⋅10³/165⋅10⁹⋅8,68⋅10⁻⁷ ρ = 4,7740⋅10¹ m Equação da linha Elástica • Raio de curvatura da linha neutra. – Momento fletor; – Momento de inércia; – Módulo de elasticidade. FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras Raio de curvatura: Momento fletor em função da posição (x). 1/ρ = M(x)/E⋅I De acordo Cálculo Diferencial e Integral: d²y/dx² = M(x)/E⋅I Flexão de Barras • Equação diferencial que governa a linha elástica. • Inclinação (θ) em qualquer ponto: – Integral simples da equação. • Deflexão (y) em qualquer ponto: – Integral dupla da equação. • Ponto onde a deflexão é máxima. Flexão de Barras • Constantes: – Condições de contorno da viga/barra. Equação da linha Elástica • Equações de momento fletor: – Polinômios de graus diversos. • Análises e comparações de inclinações (θ) e deflexões (y). Flexão de Barras • Exemplo: – Viga engastada; – Força P aplicada na extremidade livre; – Determine a equação da viga elástica. Flexão de Barras • Momento Fletor: ∑M = 0 M + P·x = 0 M(x) = −P·x Flexão de Barras • Assim: – Inclinação (θ): E·I·θ = ∫₀x M(x)dx + C₁ – Deflexão (y): E·I·y = ∫₀x dx ∫₀x M(x)dx + C₁x + C₂ Flexão de Barras • θ: E·I·θ = (−P·x²/2) + C₁ • y: E·I·y = (−P·x³/6) + C₁·x + C₂ FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras [x = L, θ = 0] [x = L, y = 0] FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras Nas condições de contorno: \[-\frac{P \cdot L^2}{2} + C_1 = 0\] \[C_1 = \frac{P \cdot L^2}{2}\] FCA UNICAMP - LIMEIRA Flexão de Barras \[-\frac{P \cdot L^3}{6}+\frac{P \cdot L^2}{2} \cdot L + C_2 = 0\] \[C_2 = -\frac{P \cdot L^3}{3}\]