Slide - Ângulo de Torção - 2024-1

Ângulo de torção PROF. DR. DANIEL IWAO SUYAMA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção • Eixos cilíndricos submetidos à torção. – Tensão de cisalhamento (τ); – Distribuição linear; – Momento de inércia polar; – Regime elástico. • Ângulo de torção (φ). FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção Comprimento do arco na face: AA' = c · φ Na lateral: tg(γ_max) = \frac{AA'}{L} Para ângulos pequenos (em radianos): tg(γ_max) ≅ γ_max Assim: γ_max = \frac{c · φ}{L} FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção • Aplicando a lei de Hooke: γ_max = \frac{τ_max}{G} γ_max = \frac{T · c}{J · G} φ = \frac{T · L}{J · G} Ângulo de torção • Ângulo de torção: – Expresso em radianos; – Proporcional ao torque aplicado. • Também válido para eixos escalonados. φ = ∑(i) TiLi / JiGi Ângulo de torção • Ex. 1 – Eixo inteiriço de aço (G = 77,2 GPa) com dimensões mostradas na figura é submetido a um torque T. – Determine o ângulo de torção em A. – Determine o ângulo de torção em A, supondo que em vez de eixo, tem-se um tubo de 30 mm de diâmetro e espessura de 10 mm. Ângulo de torção Ângulo de torção • Momento polar de inércia: J = π/2 · c^4 J = π/2 · (15 · 10^−3)^4 J = 7,9522 · 10^−8 m^4 Ângulo de torção • Ângulo de torção em A: 𝑇 ⋅ 𝐿 𝜙 = —————— 𝐽 ⋅ 𝐺 250 ⋅ 1,8 𝜙 = ———————————— 7,9522 ⋅ 10⁻⁸ ⋅ 77,2 ⋅ 10⁹ 𝜙 = 7,3301 ⋅ 10⁻² rad • E se fosse tubo? Ângulo de torção • Momento polar de inércia: 𝜋 𝑱 = ——— ⋅ (𝑐ₑ⁴ − 𝑐ᵢ⁴) 2 𝜋 𝑱 = ——— ⋅ [(15 ⋅ 10⁻³)⁴ − (5 ⋅ 10⁻³)⁴] 2 𝑱 = 7,8540 ⋅ 10⁻⁸ 𝑚⁴ Ângulo de torção • Ângulo de torção em A: 𝑇 ⋅ 𝐿 𝜙 = —————— 𝐽 ⋅ 𝐺 250 ⋅ 1,8 𝜙 = ———————————— 7,8540 ⋅ 10⁻⁸ ⋅ 77,2 ⋅ 10⁹ 𝜙 = 7,4217 ⋅ 10⁻² rad Ângulo de torção • Ângulo de torção corresponde ao ângulo de rotação da extremidade livre. FCA UNICAMP • LIMEIRA Ângulo de torção • Posso usar como notação: \( \varphi_{livre/fixo} = \varphi_{livre} - \varphi_{fixo} \) \( \varphi_{livre/fixo} = \varphi_{livre} - 0 = \varphi_{livre} \) • Casos em que não há extremidade “fixa”? FCA UNICAMP • LIMEIRA Ângulo de torção Parede Fixa L r_A r_B \varphi_A \varphi_B \varphi_E Extremidade Fixa T Ângulo de torção • Ângulo de torção é o ângulo de rotação de uma extremidade em relação a outra. FCA UNICAMP • LIMEIRA Ângulo de torção • No eixo BE: – Rotação na extremidade E; – Rotação na extremidade B; \( \varphi_{E/B} = \varphi_{E} - \varphi_{B} = \frac{TL}{JG} \) FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção • Ex. 2 Ângulo de torção • Sabendo-se: – G = 77,2 GPa – TA = 1200 N.m • Qual o ângulo de torção da extremidade A? Ângulo de torção • Analisando: – Quem é a extremidade fixa? – Quais os torques nos eixos? – Quais os momentos polares de inércia? • Procedimento: “Calcular torque da extremidade livre para a fixa. Calcular ângulo de torção da fixa para a livre” FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção FCA UNICAMP - LIMEIRA Ângulo de torção Torque nos eixos e transmissão nas engrenagens: T = F · r F = T / r T_B / r_B = T_C / r_C r_B r_C F F Ângulo de torção • Assim: T_{AB} = T_{A} \frac{T_{AB}}{r_{B}} = \frac{T_{C}}{r_{C}} \rightarrow T_{C} = \frac{r_{C}}{r_{B}} \cdot T_{AB} T_{C} = T_{CD} Ângulo de torção • Momento polar de inércia: J_{AB} = \frac{\pi}{2} \cdot c_{AB}^{4} = \frac{\pi}{2} \cdot (21 \cdot 10^{-3})^{4} J_{AB} = 3,0549 \cdot 10^{-7} \ m^{4} J_{CD} = \frac{\pi}{2} \cdot c_{CD}^{4} = \frac{\pi}{2} \cdot (30 \cdot 10^{-3})^{4} J_{CD} = 1,2723 \cdot 10^{-6} \ m^{4} Ângulo de torção • Ângulos de torção (da extremidade fixa para a livre): \varphi_{C} = \varphi_{C/D} = \frac{T_{CD} \cdot L_{CD}}{J_{CD} \cdot G} \varphi_{C} = \frac{3600 \cdot 1,2}{1,2723 \cdot 10^{-6} \cdot 77,2 \cdot 10^{9}} \varphi_{C} = 4,3982 \cdot 10^{-2} Ângulo de torção • Rolagem de engrenagem: L = φ \cdot r φ_{B} \cdot r_{B} = φ_{C} \cdot r_{C} φ_{B} = \frac{r_{C}}{r_{B}} \cdot φ_{C} Ângulo de torção • Assim: φ_{B} = \frac{240}{80} \cdot 4,3982 \cdot 10^{-2} φ_{B} = 1,3195 \cdot 10^{-1} • Necessário: φ_{A/B} = φ_{A} - φ_{B} = \frac{T_{AB} \cdot L_{AB}}{J_{AB} \cdot G} Ângulo de torção • Então: φ_{A/B} = \frac{T_{AB} \cdot L_{AB}}{J_{AB} \cdot G} φ_{A/B} = \frac{1200 \cdot 1,6}{3,0549 \cdot 10^{-7} \cdot 77,2 \cdot 10^9} φ_{A/B} = 8,1412 \cdot 10^{-2} Ângulo de torção φ_A/B = φ_A - φ_B φ_A = φ_A/B + φ_B φ_A = 8,1412 · 10^{-2} + 1,3195 · 10^{-1} φ_A = 2,1336 · 10^{-1} rad