Lista de Exercícios 1 - Grupos e Subgrupos - Álgebra 2

Álgebra 2 Turma 1 2022 Lista de exercícios 1 Grupos e Subgrupos 1 Mostre que Z Z xy x y Z com a operação definida por a b c d a c b d para todos a b c d Z Z é um grupo abeliano 2 Sejam C o conjunto dos números complexos e n um inteiro positivo Mostre que Cn z1 z2 zn z1 z2 zn C com a operação definida por z1 z2 zn w1 w2 wn z1 w1 z2 w2 zn wn é um grupo abeliano 3 Seja Q 1 0 0 1 i 0 0 i 0 1 1 0 0 i i 0 onde i2 1 Construa a tábua de Q e mostre que Q com a operação de multiplicação de matrizes é um grupo não abeliano Este grupo é chamado grupo dos quatérnios 4 Mostre que G R 1 com a operação definida por a b a b ab a b G é um grupo É abeliano 5 Sejam G e J grupos Mostre que o produto cartesiano G J com a operação definida por a b c d a c b d a b c d G J é um grupo Esse grupo é chamado produto direto externo de G e J Quando as operações em G e J são ambas de adição escrevemos a b c d no lugar de a b c d 6 Construa a tabela dos produtos diretos Z2 Z2 e Z2 D6 7 Sejam Rθ IR2 IR2 definida por Rθ x y xcosθ ysenθ xsenθ ycosθ e β IR2 IR2 dada por βx y x y isto é Rθ é a rotação em torno da origem segundo o ângulo θ e β é a reflexão em torno do eixo Ox Mostre que i Rθ e β são isometrias em IR2 ie são funções bijetoras que preservam distância ii Rθk Rkθ para todo inteiro k 1 iii se α R2πn onde n 3 é um inteiro então αn I I transformação identidade β2 I e αj o β β o αnj para j 1 2 n 1 iv Monte a tábua de Ds I α α2 α3 β β o α β o α2 β o α3 com a operação de composição de funções e verifique que Ds o é um grupo onde α Rπ2 8 Mostre que na tábua de um grupo finito G cada elemento de G aparece uma única vez em cada linha e em cada coluna Sugestão use as leis de cancelamento 9 Seja G um grupo com elemento neutro e Mostre detalhadamente que i se a G e a a a então a e