Propriedades de Grupos: Demonstrações e Verificações

Mostre que na tabela de um grupo finito G cada elemento de G aparece uma única vez em cada linha e em cada coluna Sugestão use as leis de cancelamento Seja G um grupo com elemento neutro e Mostre detalhadamente que i se a in G então a e a e e a a ii se x2 e para todo x in G então G é abeliano iii se x1 x2 ldots xn são elementos de G tais que x1 x2 cdots xn e então x2 x3 cdots xn x1 e Mostre que G é um grupo então e subset G são subgrupos de G Estes subgrupos são chamados de subgrupo trivial de G Verifique se são subgrupos a x in mathbbQ x geq 0 do mathbbQ left frac1n n in mathbbZ right de mathbbQ e subset C C d 4 b sqrt2 b in mathbbR de mathbbR f alpha beta do D8 1 alpha beta alpha beta do D8 Z2 a ib a b in mathbbZ de C Seja H left beginpmatrix cos heta sin heta sin heta cos heta endpmatrix heta in mathbbR right Mostre que H é um subgrupo do grupo linear GL2mathbbR Verifique que se G é um grupo H K são subgrupos de G com H subset K então H é também subgrupo de K Verifique que o conjunto dos matrizes do tipo beginpmatrix a b b a endpmatrix onde a e b são números reais não simultaneamente nulos é um subgrupo de GL2mathbbR Verifique que SLnmathbbR A in GLnmathbbR detA 1 é um subgrupo de GLnmathbbR cdot Mostre que H cap K são subgrupos de um grupo G então H cap K é um subgrupo de G Mostre que H é um subgrupo do grupo aditivo Z então existe um inteiro m tal que mZ subseteq mZ mk k in mathbbZ Sugestão para H 0 tome como sendo o menor inteiro positivo tal que m in H Seja G um grupo multiplicativo Mostre que i G g in G g1 x a forall g in G é um subgrupo de G Chamamos ZG de centro do grupo G ii G é abeliano se e somente se g1 in H é um subgrupo de G Este subgrupo é chamado subgrupo conjugado de H por x iii Determine ZD4 ZD6 subset ZQ onde Q é o grupo dos quaternions Homomorfismos 1 Considere os seguintes grupos Z R C R cdot Z Z Verifique em