Anéis Corpos Domínios Divisores de Zero Elementos Regulares

LISTA DE EXERCÍCIOS I Temas avaliados na primeira prova Anéis corpos domínios divisores de zero elementos regulares característica de um anel subanéis e ideais Exercício 0 Faça uma tabela indicando a definição de cada um dos seguintes termos alguns exemplos deste e os principais resultados eo propriedades relacio nados a este vistos na aula Definição Exemplos Principais resultados propriedades Anel Anel comutativo Domínio Elemento invertível Corpo Divisor de zero à esquerda Divisor de zero à direita Divisor de zero Elemento regular Característica de um anel Subanel Ideal 1 Provar que MnnR é um anel não comutativo 2 Em cada item prove que A é um anel com as operações dadas Escreva também os elementos 0A e 1A em cada caso i A Q com as operações x y x y 1 x y x y xy ii A Z Z com as operações a b c d a c b d a b c d ac bd ad bc 3 Seja n um inteiro positivo n 2 No conjunto dos inteiros módulo n Zn definimos duas operações x y x y x y xy Provar que Zn é um anel comutativo onde o elemento neutro para é a classe 0 o elemento neutro para é a classe 1 o inverso aditivo de x é a classe x O anel Zn é chamado de anel dos inteiros módulo n 4 Sejam A1 1 1 e A2 2 2 anéis Provar que o produto munido das operações A1 A2 a1 a2 a1 A1 a2 A2 a1 a2 a a a1 1 a a2 2 a 1 2 1 2 a1 a2 a a a1 1 a a2 2 a 1 2 1 2 é um anel cujo elemento neutro da adição é 0A1 0A2 e cujo elemento neutro da multipli cação é 1A1 1A2 5 Considere o conjunto C f R R f é uma função contínua e as operações f gx f x gx f gx f x gx Mostre que C é um anel Mostre também que C não é um domínio 6 Considere o conjunto C f R R f é uma função contínua e as operações f gx f x gx f gx f gx Mostre que C NÃO é um anel 7 Considere e anel A M22R com as operações usuais de adição e produto de matrizes Em cada item determine se a matriz dada é invertível i M 4 7 8 1 ii N 1 4 2 8 A é um corpo JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA 8 Em cada item determine se a matriz dada é um divisor de zero à esquerda no anel das matrizes A M22R i M 4 0 0 1 ii N 2 0 3 1 9 Em cada item determine se a matriz dada é um divisor de zero à direita no anel das matrizes A M22R i M 4 0 0 1 ii N 2 0 3 1 10 Seja A um anel não necessariamente comutativo Determine se todo divisor de zero à esquerda é também um divisor de zero à direita Justifique sua resposta caso seja verdadeiro demostrar e caso contrário mostrar um contraexemplo 11 Seja A um anel Booleano ie todo elemento x A satisfaz x2 x Mostre que neste caso temos que x x para todo x A e o que o anel R é comutativo 12 Provar que se A é um anel com um elemento x A0A tal que x não é divisor de zero e x2 x então x 1 13 Provar que se A é um anel e x A0A as seguintes afirmações são equivalentes i x é um elemento regular ii Sejam y z A se xy xz então y z Observe que isto nos diz que se um elemento é regular num anel podemos cancelar ele a ambos lados de uma igualdade Em outras palavras num anel não necessariamente um corpo ou um domínio podemos cancelar elementos regulares a ambos lados de uma igualdade 14 Seja n N n 2 Provar que as seguintes afirmações são equivalentes i x Zn é invertível ii x Zn é regular iii x n 1 15 Calcule os divisores de zero os elementos regularese inversíveis para cada um dos seguintes anéis i Z12 ii Z11 iii Z3 Z5 16 Mostre que Zn é um corpo se e somente se n é um número primo 17 Determine se o anel Z45 é um domínio 18 Determine se o anel Z13 é um corpo 19 Determine se Z11 é um domínio 20 No anel Z11 resolva a equação x3 x 21 Seja A um anel Dizemos que um elemento x A é nilpotente se existe n N tal que xn 0 Mostre que se A é um domínio o único elemento nilpotente de A é 0A 22 O anel das matrizes M33R com as operações usuais de adição e multiplicação é um domínio Justifique sua resposta caso seja verdadeiro demostrar e caso contrário mostrar um contraexemplo 23 Prove que todo corpo é um domínio Determine se a recíproca desta afrimação é verda deira Justifique sua resposta caso seja verdadeiro demostrar e caso contrário mostrar um contraexemplo 24 O anel R é um domínio 25 Calcule a característica de cada anel i Z ii Z2 iii Z4 iv Zn vi Q vii R ix M22R x Z2 Z3 26 Justifique porque Z2 0 1 não é um subanel de Z3 0 1 2 27 Considere o anel A Z12 e o subconjunto B 0 3 6 9 Prove que B é um subanel de A e mostre que 1B 1A 28 Seja A um anel e I um subconjunto não vazio de A Provar que I é um ideal de A se e somente se x y I para todo x y I e ax I para todo a A e x I Observe que provar isto é equivalente a provar que todo ideal é um subanel Todo subanel é um ideal