EDP-Equacoes-Diferenciais-Parciais-Conceitos-e-Definicoes

Def Diferenças Parciais EDP 1ª parte Uma equação diferencial parcial EDP é uma equação que envolve uma função incógnita de duas ou mais variáveis independentes dentro e outras diversas parciais de uma função mais precisamente dura função incógnita m principais variáveis independentes x1 x2 xn metros n Fx1x2 xn u ux1 ux2 uxn ux1x1 ux1xn 0 onde F é uma função de seus argumentos e uma EDP em u Ex1 As soluções positivas não são alguns exemplos de equações diferenciais parciais nas dois nas n variáveis independentes x e y a xxux yuy 2u 0 b yux xuy 0 c uxx uyy uy 0 d unxn yn y x²y² Definição 1 Ordens A ordem de uma EDP é a ordem da derivada de ordem mais alta que aparece nas equações Ex2 On equations a b e d de 1st só equa maiores ou em ou mais independentes g c são de 1º ordem e as outras é de 2º ordem Ex3 Algumas equações diferenciais parciais importantes 1 ²ut² c²²ux² equação da onda unidimensional 2 ²ut² c²²ux² equação da onda unidimensional 3 ²ux² ²uy² 0 equação de Laplace bidimensional 4 ²ut² ²ux² equação de Poisson bidimensional 5 ²ut² c²²ux² ²uy² equação de onda bidimensional 6 ²ux² ²uy² ²uz² 0 equação di Laplace tridimensional Obs Os equações acima não todos de 2ª ordem c i é uma constante t e é o tempo x y z não são ordenadas continuamos a dimensão do números diversos coordenados no equações Usualmente uma EDP é considerada em um certo domínio das suas varáveis independentes Def Uma solução de uma EDP em alguma região R do espaço em variações de suas variáveis independentes é uma função que possui todas as derivadas parciais que aparecem nas equações nos seus derivadas satisfeitas P tal que u é um soluções satisfazem identicamente a equações diferenciais Ex4 Definição que as funções soluções u x² y² y lnx² y² u lnx² y² soluções da equação ²ux² ²uy² 0 Para u x² y² temos ²ux² 2x 1 ²uy² 2y 2 y n estamos ²ux² ²uy² 0 Definição Faça a mesma p u exy u lnx² y² Ex5 Mostra que a função uxy x² y² uma soluções da EDP Xu x y y 0 Laplace 1 Soluções 2 y 23 y2x ² y² 0 ²x 2 y Importância das eqs Diferenciais Solução u é soluções da EDP Definição Uma EDP é dita linear se ela por grau de máximas arbitrárias funciona em que as funções uvaríes em funções dependem dos derivadas independentes u o mesmo uma superposição linear linear x depende uma funções independentes de x ou y em uma funções Uma funções geral da equações diferenciais da equações gerais da equações de ordens que a solução geral de uma equação dif um um que a solução geral é constante de válidos que um text partly illegible Orla as equações não todos b c do da 1º EDP fórmula todos de ordem continuado da de todos os defines determina algumas enfoques que a que a que unha funções variáveis a para pode determina u funções que lidam em modo parciais iguais à ordens das ordens independente depende de funções independentes m1 variables Def Uma EDP é dita homogênea no cada termo da equação contém uma variável dependente ou uma derivada a que uma equações que não dependente da qual Ex6 1 Formulas a solução geral do EDP de 2ª ordem Uxx Uy mx y Solução Integra as omens dos membros em relçao a x Ex7 Os equivalentes 1 2 e as soluções homogêneas 3 4 não homogêneas Definição Uma função arbitrária de as outras funções da equações para x Equações gerais da equações diferenciais rightarrow Conforme aqui a teoria das variáveis nas ordens de que uma a solução geral é uma que n constantes arbitrárias x notas um envolve n n constantes antcipais por n constantes em determinada condições Se exige que a solução satisfeça certas condições no caso geral uma equação funcional parciais a funções arbitrárias O funções traem illegible arbitrárias É igualmente o que a diferenciais em variáveis independentes num número m variáveis de ordem função arbitrárias dependentes das funções m 1 variáveis Definição A solução geral da equação y x y x2 y x4 y y é uma uma EDO 2a ordem homogênea tratada como uma EDO 2a ordem por u onde x y x y u x y y y za onde fx x2 y y fx gx onde gx não funções arbitrárias Solução Particular y da equação é homogenea assíntotas funções Para esta a solução geral da equação não existem as soluções particulares portanto um dos coeficientes homogêneas a soluções particulares misto dos coeficientes anteriores função Simplificada x y x y y Ax Ax m y Bx m y Bx cos y dividido um m p em funções y m y y Ax m y Bx Ax m y Bx uso senindo m p e um m p um m p um m p uma um m p umem m p umem que m p um p e um segue que Ex1 Formato a equacao general das equacoes dada por a x b y c uma constante e a equacao nao contem constantes ou seja a 0 b 0 Sequência dydx ba A equação general das equacoes define uma familia de curvas constituitas da urns constantes b x ay uma familia da urns constantes ax by y S x y q integrar justo os novos transoformar em b x ay e w 0 w 0 Diga que uma familia formada por uma familia de urns constantes b x ay Uma familia de urns constantes ax by w s xy x y c y e s integrando Integrande tempos wS w e S j w dydx b x ay eta x u w s eta y b x ay entao a relacao do e a da relacao da dado por Aux buy c u 0 a b e c nao constantes buty cw 0 Ex 2 Determinar a soluçao da equacao qual a soluçao canonical Determinar a soluçao da equacao filha qual a soluçao canonical dx dy 1ix integrando dydx 4 x a equaçao canonical da equaçao dxdy y x e dada por y c x partindo de u x y e x dx a x e dy a x e d ux uy uV u x 4 x y u ex u s y es x y c e integra desde d x dy 1ix dx dy yx Portanto a soluçao grade e dy dx yx dxdy yx Portanto a soluçao grade x df 7 Ex 5 Considera a equaçao da onda u t u t 0 as equaçoes sao um x y xy n n 1 2 as equaçoes sao um x y xy m 1 2 m n os dados sao as conditoess 3 Para m 1 a equaçao representa a onda uum x y ux y u m n m1 xy n2 x u 1 d2 um n m1 xy n2 3 x2 1 d2 um n m2 xy n1 d2 y 1 m1 u n xy n1 n xy n1 substituindo na equacao temos u x x u y y n n1 xy n2 n n 1 xy n2 0 Portanto um e a soluçao qualquer que seja n Prinicipio da multiplicaçao um multiplicaçao da soluçao m x y somatorio de n 1 n u x y Prazo um x y somatorio de n 1 n ux y e da onda para todos inteiros N 1 da relativos cv 1 2 3 N natural Portanto LH e linear Dy Fij Eqaucoes diferenciais lineares A equação linear diferencial linear Orix y e dada por uma função ux y e dy e dada por a linear fidao de orden a 1Ay B x y y C x y u u 1 1 portanto LH e linear L Hlinu Cx uy a L Cu u c u u e LN c 1 NU Uma equaçao L u t e chamada uma equaçao linear de forma f1 e uma função chamada laplaca 3 e dita nao homogenea caso f 0 a equaçao 3 e um EDP 4 ela define uma familia da caracteristica das equacoes 1 y c y c onde y y x u e uma familia parametria chamaods c uns contidos na familia formando o conjunto chamsado uns caracteristica Exemplo 1 A familia da equaçaos linear 1 ŷ e uma familia de curvas nao nao intersecantes independente Vejamos uma familia que satifaz as equaçoes 2 que que a soluçao linear das equaçoes por um funcao da equaçoes 4 u be 0 e dita nao homogenea 4 principio da multiplicaço da multiplicaçaçao ou a solucoe multiplicun dos maneis de moços gale integratos substituaos pela fato integrada w1 w2 e w N w1v exp os fatores integratos mulpliers N S 1 w exp S d5 4 Para esta a solucoes gors a 9 funciona multiplicaçao seres multiplas eintegrados pela fato integrada O conteudo e o ponto midiolo integroos um retulace a e e consâ conteúdo por varilabos V s 1 vc d S f v s livro conserto tambem ha uma a relacoes relaodas por N1 N Retulando os variaveis x e y temos uma f e uma funçao atualizar ou obter solucoe 1 Eqauoes Diferenciais de 1 Ordem A equaçao linear diferencial linear A equaçao derivadas po 1 A equaçao d ydx ba onde a b e c sao coeficinetes a b c e d nao sao constantes Podemos considerar que as funções a b c e d nao sao x igenas de por isso formas a e b nao sao independentes Elementar mest que as soluções seguindo ao equações uma métodos para encontrar a soluçaõ geral de a familia hangifica da profession de a maneira e 1 Uma equaçao linear 1 entre equaçoes forma 2 a famiglia das equaçoes lineares N e um ponto particular de relaxa a 2 um paramendo dificuldade e depende da integrais Linhares a propria fazendo integrados variaveis indepontede A solucaçao possui solucoa geral pode na 1 uma familia um sistema de una parentes uma familia das originais xi 1 uma forma 2 uma familia relacca at a solucäo reforam para transformas as novas variaveis yi u pela uma equações de novas variaveis yi u pela uma equacoes de novas variaveis yi u pela uma equaçao v s Yi 1 1 sq cl0 w 0 w 0 um as soluções resoluças como multiplicamos integrados ud w u o o ⁿ x w w 0 wu o o⁰ x x 0 um o Um a 0 Nota s é uma EDO linear de 1 ordem Suas soluções que é uma EDO linear de 1 ordem Suas soluções Definição das equações de segunda ordem com coeficientes constantes Uma equação linear parcial de segunda ordem li x que L e afindável et multível sur forma auxx Buxy Cuyy Dux Euy Fu G onde os coeficientes A B C D E F e G não funções dx e y em algum domínio do plano xy Consideramos aqui e com equação 1 auxx buxy clyy du x eu y fu 0 1 em que ab e c d e f são constantes e tais que ac 0 nós não consideramos para o comivento múlios Só corrente marcamos uma forma onde L denote a função diferencial da segunda ordem L aDx² bDyDx cDy ² dDx eDy f Com Dx x Dy y Note que o operador L pode ser escrito como L L1L2 onde L1 e L2 não operadores de 1ª ordem dados por L1 l1i1L2 onde L1 e L2 são operadores de primeira ordem pois l1 0 nem os lentos a lei transformada de que integramos auxi integrando x x y 4fxy y y c Seja y x c Sua integral de formaos y Lyu 0 wx wy 0 Quase constante lx y qx y e gx y onde l é e g funções arbitrárias duam respeito a equações homogêneas Syponhamos L u A cos 3x2y B mn 3x2y 3 Bcos 3x2y 3 Bmn 3x2y 9Acos 3x2y 9B mn 3x2y 9A cos 3x2y 9Bnm 3x2y 28 cos 3x2y Wu y 4A cos 3x2y Cope particular L1L2 L1 L2 Note que u x e y l e x e y a11 Dx b1Dy c1 u 0 Lw an Dx b n Dy c n u 0 a j experiência a equivale a solução 2 diz 1 Como s coeficientes de L são constants L1L2 L1L2 2 Quando L pode ser escrito como em 2 díferes 9 um importante igual a solução de e s A integramos obtemos que as soluções iguais w6g e 3 2 f 3 y uξ η e 3 2 g 3 vξ v eg 3 w u Suξ η e v ui w O misture de duas equações 1 Para delta de L we direcion a mza o núx e para uz t que Lw de Lv G para La teórica L L1L2 L2 L2 Nota que a solução das equações particulares Lw a w é uma solução particular La solucion particular Lw G Fórmula 3 a solução geral do equações wx 2uxy uyy 5 L Dx² Dy² Dx Dy operador L L1 L2 ou L2 L1 Classificação das EDP 2a ordem considerando a classificação do EDP linear de 2ª ordem Dámos no caso especial da equação não ho Auxx 2Buxy Cé que devemos ter 0 1 onde A B C são os coeficientes com A B C diferentes trás Dizemos Dx y fica chamada de discriminante da equação denominada Δx y e2 b c não diferenciação funçaõ onde a equação Δx y B²4 AC Não acordo a classificação acima a equação elíptica Hipérbolica Parabólica ou Pc dizemos que a equação é Hipérbolica Δx0 y0 0 Parabólica Δx0 y0 0 Parabólica Δx0 y0 0 É uma EDP por classificada do tipo em todos Kimp prame não Hipérbolica Parabólica Elíptica em R2 box11 A quípil da onda uxxuyy0 hipóhecia Pós A 1 B0 e C1 Artim B2AC 10 2 fortilo de u edp da valar uxuyy 0 é parabólica Pois A B0 B2AC 10 Qts formas canónicas 3ª Parte Considera a EDP linear da 3ª ordem no caso especial α β γ δ da forma a redução 1 a umas das formas canónicas Para simplifica seja y xx py y z xx 5δ y tem α β γ δ constantes tais que αδ βγ 0 Dêtemse no lugar das raízes term ux α ux γ uy uy β μ 8 0 ux δ uy max β 1 2 α 7 ηy max x ux 5 uy 8 uy max β 85 uy lx 5 0 uy 6 5 uy max 2 Substituindo 1 2 multiplica de termos no lugar am 1 1 no lugar 2 bxy δβS uy lx η 85 Suy 2β uy 1 2 δA x β luqy 8 2 7 se Lagea 0 Uy 5 8 luy t por δb Aduges AUX SY CUr7 Olando o luy2 t CufTy7 5 CUr7 Coq β 0 Para resolver equações reduzidas lineares ac nitem formas conformas simplificadas a uma das três formas canónicas i hiperbólicas ii parabólicas iii elípticas Todas a forma Hipérlicas B2 Ac 0 se 1 é definida unção a transformações ly EBBf Rc 1x Ay L EBBBf RC 1x Ay 3 reduzindo 1 a forma ab 0 b 0 que dividido pon ab h forma uyUsT 0 b uyT 0 2 Tipo Parabólicas B2 AC 0 So l 1 é parábolico unção a transformações r SeT uy tBx Ay 4 reduzindo 1 a forma AUsegT 0 que dividido por A T0 3 Tipo elíptico B2AC 0 Se 1 é elíptico unção a transformações gy By Ay 7 abs 8x x reduz o forma Uys uy 0 ugst un yT 0 Exa 1 Mostra que a EDP 2 return forma canónica a sua equação l hiperbólica e monoto sua forma canónica x montal x 16 explique Exemplos metá que A1 B3 c 16 assim B2 AC 25 Hípere daé para analisa qução 1 de tipo hiperbólica EC 3 y int מספר posunções Wufqx luy 4uy 0 Rduxa o EDP xxx 6uxq 16 uy 0 u ള forma canónica wcomica e detena sua equação axin B2 AC0 Logo a equação atributiva botão dos Gamens a mutando maisuni ux uy Do 4 1 ū xy Pontos de ux ulg uy uy un ux uy uch Bay que Quay que Substituindo uas as igualdades acima na equação forma canónica uxg 0 A equação reduz a forma canímica Q reducões desta equação é dita integrada um movimiento mini um movimiento e momento um Inu W R f9 gyv 8 Portanto a equação graus da é uxy λ 2xy ζy α xy g8xy Reduz o a EDP uxxx 6uxy 16uy 0 l hiperbólica monota sua forma canónica a sua equação x 1 B1 1 e axim B2 AC0 Quas metá que A1 B1 C1 e axim B2AC0 é do tipo parabólica Logo a equação dada é do tipo parabólica já a Loga Programa a mutando maisuin Pontos de 1 u xy y xy Pontos de 2 2 ugu urn uy uy Substituindo as igualdades as igualdades acima na equações forma canónica A integr orbit 100 I uyT0 ou ugo0 Integrando em núcleos uy μ 8η uy μ 8 4μη ux 2Uyu 8μ uy 4μ 4μ Ux 4 Uyg 6u y ゃ uy 3u 92 64μ Uyn uy5 4gt 2uyt Uy uy y ugo ugt uyT ugn uy uyT uyT uy T uy T Portanto a equação gral da é ux y x2 fxy gxy l Reduxa a EDP ux 2luxy 54uyg0 forma canônica a sua forma canônica x B2 AC0 a hiperbólica Fargura da 2 η 8xy a importância da variáveis 5 termos e limites γ 2x e limites de 1 η 2x Fugura B1 C4 0 C5 e axim Telmos A1 B1 C5 a un Se a igualdades componentes na equações o forma canônica Substituindo as igualdades as igualdades acima na equações a forma canônica Integrando em núcleos ou yht 0 nx 0 mu on sugar 0 4 Congucas para tys yuy usg 42yt 2uyT uy yyy uyT ugst uyT 0