Resolução de Equações Diferenciais - Solução Geral e PVI

Primeira Parte 1 20 pontos Sabendose que as funções φ₁t t φ₂t t eᵗ e φ₃t 1 t eᵗ são soluções de uma certa equação diferencial não homogênea de segunda ordem Determine a solução geral desta equação diferencial 2 20 pontos Resolva o PVI ÿt 3ẏt 4yt 4t 1 5eᵗ y0 1 ẏ0 0 Obs se as equações não aparecerem para vc é só converter o arquivo para PDF pelo link httpswwwilovepdfcomptwordparapdf Questão 1 Aqui a equação teria o seguinte formato y b y cyg t A solução geral será no formato y tyh y p y tc1 yh 1c2 yh1 y p Note que temos ϕ1t ϕ2t e t ϕ31t e t Aqui note que o termo t aparece em todas as funções Logo esta é a solução particular y pϕ1t Assim temos y tc1c2e tt Questão 2 Temos y 3 y 4 y4 t15 e t Aqui a eq homogênea é dada por y 3 y 4 y0 Que dá origem à equação característica m 23m40 Logo m33 24 4 2 m3916 2 m35 2 m4 m1 Assim a solução homogênea é dada por yhc1e 4tc2e t Para a solução particular chutamos a seguinte função y pabt ct 2d e tft e t y p b2ctd e tf e tft e t y p 2cd e t2f e tft e t Substituindo na equação temos 2cd e t2f e tfte t 3 b2ctd e tf e tft e t4 abtct 2d e tfte t 4t15e t 2cd e t2f e tfte t 3b6ct 3d e t3 f e t3ft e t 4 a4bt4c t 24d e t4 ft e t4t15e t 2c2 f e tft e t 3b6ct3f e t3ft e t4 a4bt4 ct 24ft e t 4t15e t 2c2 f e t 3b6ct3 f e t4a4 bt4 ct 24 t15e t 2c 3b6ct5f e t 4a4bt4c t 24 t15 e t f 1 2c 3b6ct 4 a4bt4c t 24t1 c0 03b 4 a4bt 4t1 b1 34a 1 4a4 a1 Assim a solução particular fica y pabt ct 2d e tft e t y p1td e tt e t y p1tt e t Logo a solução final é y yh y p yc1e 4tc2e t1tt e t Mas y 01 logo 1c1c21 c2c1 Assim a função fica yc1e 4tc1e t1tt e t y 4c1e 4tc1e t1e tt e t Mas y 00 logo 04 c1c1110 05c12 c12 5 Assim a solução fica yc1e 4tc1e t1tt e t y2 5 e 4t2 5 e t1tt e t