Exercício 4

4 Consideremos o problema de valor inicial é definido como dydx fxy yx0 y0 PVI em que y ab R f Ω R2 R Ω xy a x b a Elaborar um programa para calcular uma aproximação para a solução do PVI pelos métodos de Euler e Euler modificado b Comparar os desempenhos dos algoritmos implementados considerando solução numérica solução analítica variação da solução em relação ao tamanho do passo c Utilizando os programas implementados apliqueos aos seguintes exemplos dydx x2y2 y y0 1 x 04 1 dydx xy3 y y0 1 x 02 2 Questão 4 a O programa gerado tem como função aplicar os métodos de Euler e Euler modificado para calcular as soluções pontuais de problema de valor inicial Adotase como parâmetros inicias Definimos a função f como sendo fxy dydx fx O valor do ponto inicial x0 y0 o intervalo de estudo geralmente x pertence aos reais ab h é o passo para o cálculo def fx y return x2 y2 y Essa é são escolhas do problema x0 0 y0 1 a 0 b 4 h 001 Após isso são determinados os valores x para os cálculos considerando o número n de interações necessárias para encontrar a soluções n intb a h número de interações t nplinspacea b n1 x ttolist y npzerosn1 y0 y0 Então é aplicado o método de Euler e Euler Expandido na forma Na resolução pelo método de Euler empregamos a equação yn1 yn h fxy Ele irá interar do intervalo de a até b eulerresults y0 for i in range1 n1 yi yi1 h fti1 yi1 eulerresultsappendyi Na resolução pelo método de Euler Modificado empregamos a equação yn1 yn h fxy Ele irá interar do intervalo de a até b eulermodificatedresults y0 for i in range1 n1 ytemp yi1 h fti1 yi1 yi yi1 h2 fti1 yi1 fti ytemp eulermodificatedresultsappendyi As soluções são então armazenadas em listas que permitem que sejam mostradas na tela ou gerar gráficos comparativos dos métodos b A solução do Sistema com h 01 pode ser apresentada no gráfico a seguir ou na forma tabular X yx Euler yx Euler Modificado 000 1000000 1000000 010 1100000 1104395 020 1208790 1216740 030 1323824 1333251 040 1440434 1447610 050 1551280 1550793 060 1646246 1631805 070 1713306 1679689 080 1740801 1686514 090 1720937 1650104 100 1653139 1574930 110 1545166 1470571 120 1410790 1348681 130 1265262 1220128 140 1121238 1093314 150 0986956 0973762 160 0866483 0864482 170 0760928 0766651 180 0669687 0680252 190 0591348 0604595 200 0524244 0538662 210 0466735 0481329 220 0417341 0431491 230 0374775 0388126 240 0337951 0350323 250 0305961 0317285 260 0278049 0288329 270 0253592 0262872 280 0232070 0240416 290 0213053 0220542 300 0196184 0202896 310 0181163 0187175 320 0167739 0173124 330 0155702 0160527 340 0144871 0149199 350 0135097 0138982 360 0126249 0129741 370 0118217 0121360 380 0110906 0113740 390 0104236 0106793 400 0098133 0100446 com h 01 pode ser apresentada no gráfico a seguir ou na forma tabular x yx Euler yx Euler Modificado 000 1000000 1000000 010 0900000 0908645 020 0817290 0831321 030 0746479 0764092 040 0684310 0704417 050 0628697 0650590 060 0578252 0601437 070 0532028 0556137 080 0489367 0514109 090 0449806 0474940 100 0413016 0438334 110 0378760 0404080 120 0346861 0372021 130 0317182 0342036 140 0289612 0314031 150 0264052 0287921 160 0240408 0263630 170 0218591 0241083 180 0198507 0220202 190 0180065 0200909 200 0163167 0183122