Resolucao Trabalho Calculo IV - Series Binomiais e Teste da Razao

Trabalho Cálculo IV Matemática NomeRA Letícia Novinó RA 107683 Considere a série n0 an xn com a01 e an kk1kn1 n n 1 1 Mostre que para k5 e k6 a série acima é finita O que podemos dizer sobre a série acima quando k é um inteiro positivo qualquer 2 Seja k um número real que não é um inteiro positivo então a série acima é chamada de série binomial Use o Teste da razão para determinar o raio de convergência desta série 3 Mostre que para cada k real 1xk 1 n1 kk1kn1 n xn para x1 4 Seja m o último algarismo do seu RA desde que seja diferente de 0 ou 1 Caso seja 0 ou 1 tome m1 Encontre uma representação de 1xm em série de potências Bons estudos Questão 1 Considere a série n0 an xn com a01 e an kk1kn1 n n 1 1 Mostre que para k5 e k6 a série acima é finita O que podemos dizer sobre a série acima quando k é um inteiro positivo qualquer Solução Com efeito de modo geral temos que n0 an xn a0 n1 an xn 1 n0 kk1kn1 n xn Agora note que os termos do somatório são tais que para k5 kk1kn1 n xn n1 k1 x1 5x kk1kn1 n xn n2 kk12 x2 542 x2 10x2 kk1kn1 n xn n3 kk1k23 x3 5433 x3 10x2 kk1kn1 n xn n4 kk1k2k34 x4 54324 x4 1204 x4 5x4 kk1kn1 n xn n5 kk1k2k3k24 x5 54 x4 1205 x5 x5 kk1kn1 n xn n6 kk1k2k3k4k56 x6 5 06 1 x6 0 kk1kn1 n xn n7 kk1k2k3k4k56 x7 5 017 x70 kk1kn1 n xn n1 5 0 12 n xn 0 ou seja após o termo n5 todos os outros termos serão zerados Assim a série tornase uma soma finita para quando k5 Por outro lado para k6 temos kk1kn1 n xn n1 k1 x1 6x kk1kn1 n xn n2 kk12 x2 652 x2 15x2 kk1kn1 n xn n3 kk1k23 x3 6543 x3 20x2 kk1kn1 n xn n4 kk1k2k34 x4 65434 x4 15x4 kk1kn1 n xn n5 kk1k2k3k24 x5 65 x5 6x5 kk1kn1 n xn n6 kk1k2k3k4k56 x6 66 x6 x6 kk1kn1 n xn n7 kk1k2k3k4k56 x7 6 0 7 x7 0 kk1kn1 n xn n1 6 0 12 n xn 0 ou seja após o termo n6 todos os outros termos serão zerados Assim a série tornase uma soma finita para quando kk Questão 2 2 Seja k um número real que não é um inteiro positivo então a série acima é chamada de série binomial Ls e o Teste da razão para determinar o raio de convergência desta série Solução Com efeito impomos a condição de convergência do teste da razão de modo a termos o seguinte lim n an1 xn1an xn 1 com isso temos o seguinte desenvolvimento para o lado esquerdo da desigualdade acima lim n an1 xn1an xn lim n an1an x lim n kk1kn1knn1 nkk1kn1 x lim n knn1 x lim n knn1 x lim n nkn1n11n x lim n kn111n x x Logo temos que a condição de convergência é tal que x 1 portanto disso segue que o raio R de convergência é R 1 Questão 3 3 Mostre que para cada k real 1xk 1 n1 kk1kn1n xn para x 1 Solução Para obtermos a expressão acima Vamos prosseguir fazendo o desenvolvimento da série de potências da função fkx 1xk onde fkx é uma função definida de valores reais a reais associada a um parâmetro k real fixado Logo para cada k real e fixado temos que representação em série de potência da função fkx é dada pela seguinte expansão fkx n0 dndxn fkxnx0 xn De posse disso veja que para n0 nós temos o seguinte dn0dxn0 fkxx0 dn0dxn0 1xkx0 1xkx0 10k 1 que vale para todo k real Com isso em mãos resta mostrar que dndxn fkxx0 kk1kn11xknx0 kk1kn1 para n 1 Com efeito para n1 nós temos que dn1dxn1 fkxx0 dn1dxn1 1xkx0 k1xk1x0 k10k1 k k x0 ou seja o caso n1 é imediatamente verificado Então assumamos a hipótese de indução para nm de modo que o caso mésimo é dado por dmdxm fkxx0 kk1km11xkmx0 kk1km11xkm então vamos verificar o caso m1 Com efeito veja que dm1dxm1 fkxx0 ddx dmdxm fkxx0 ddx kk1km11xkmx0 kk1km1km1xkmx0 kk1km1km que verifica o caso nm1 Logo segue por indução em n que dndxn fkxx0 kk1kn11xknx0 kk1kn1 vale para n 1 Então de posse disso concluímos que 1xk n0 dndxn fkxnx0 xn a0 n1 dndxn fkxnx0 xn 1 n1 kk1kn1n xn e temos a expressão desejada e logo o resultado fica demonstrado 4 Questão 4 4 Seja m o último algarismo do seu RA desde que seja diferente de 0 ou 1 Caso seja 0 ou 1 tome m4 Encontre uma representação de 1x1m em série de potências Solução Com efeito teremos que m3 Logo segue que temos fx 1x1m 1x13 Agora vamos determinar uma representação em série de potências para a função fx Com efeito temos que a representação em série de forma geral para a f é dada por fx n0 dndxn fxnx0 xn Nesse sentido vamos calcular os coeficientes da expansão da série fx Com efeito veja que esses são Para n0 dn0dxn0 fxx0 1x13x0 1 Para n1 dn1dxn1 fxx0 13 1x23x0 13 Para n2 dn2dxn2 fxx0 13 23 1x53x0 29 Para n3 dn3dxn3 fxx0 13 23 53 1x83x0 1027 A partir disso veja que há um padrão que é estabelecido para n 2 Decerto os denominadores ficam sempre associados por 3n há sempre um fator 1n1 que aparece multiplicando o termo e os numeradores também ficam sempre associados como o produto dos números 2 até o número 23n Dessa forma podemos conjecturar que dk1dxk1 fxx0 1k 2 5 23k13k1 1x23k13x0 para k 0 Com efeito veja que para k1 temos que ddx fx 1 231132 29 5 que verifica o caso k 1 que é associado a n 2 conforme obtido acima Agora vamos supor a validade da hipótese de indução para o caso lésimo isto é suponhamos que a expressão dl1dxl1 fx x0 1l 2 5 2 3l 1 3l1 é verdadeira Agora vamos verificar o caso k l 1 Com efeito veja que teremos dl2dxl2 fx x0 ddx dl1dxl1 fx x0 ddx 1l 2 5 2 3l 1 3l1 1 x23l13 x0 ddx 1l 2 5 2 3l 1 3l1 1 x3l13 x0 1l 2 5 3l 1 3l1 3l 4 3 1 x3l13 x0 1l1 2 5 3l 13l 4 3l2 que é exatamente o caso para k l 1 Logo por indução em k a expressão para a relação geral dos coeficientes de fx fica demonstrada De posse disso podemos representar a função fx em série do seguinte modo fx n0 dndxn fx n x0 xn dndxn fx n x0 n0 x0 0 dndxn fx n x0 n1 x 1 n2 dndxn fx n x0 xn 1 13 x l1 1l 2 5 2 3l 1 3l1l 1 xl1 1 13 x l1 1l 2 5 3l 1 3l1l 1 xl1 onde renomeamos o índice mudo n para l 1 Agora uma vez que l é um índice mudo podemos fazer l n desse modo teremos que fx 1 13 x n1 1n 2 5 3n 1 3n1n 1 xn1 que é uma representação para a série associada a função 1 x13