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Engenharia de Produção ·

Cálculo 4

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Primeira Avaliacao Calculo Diferencial e Integral IV Curso Engenharia de Producao Professor Marcos Roberto Teixeira Primo 06032023 Nome RA Questoes Valores Notas 1a 25 2a 25 3a 25 4a 25 Total 100 1 25 pontos Ache a solucao na forma explıcita dos problemas abaixo a yt 3t2yt 1 t3 e y0 1 b yt 2t 1 yt e y0 1 c sen 3yt yt cos 2t e yπ 1 2 25 pontos Encontre todas as funcoes g R R que tornam a EDO 1 yt3 cost 3yt2gt yt 0 exata em R2 Para as funcoes g encontradas encontre as solucoes de 1 3 25 pontos Encontre todas as solucoes de yt 2 1 2tyt 2 1 2t t 0 1 e encontre a solucao do PVI yt 2 1 2tyt 2 1 2t t 0 1 y1 2 1 4 25 pontos Resolva as seguintes Equacoes Diferenciais Ordinarias a yt t3yt t3yt5 b ytt4ytt3yt2 1 sabendo se que y1t t e uma solucao particular da EDO deste item BOA PROVA Questão 1 a dy dt 3t 2 y 1t 3 Separando variáveis e integrando temos dy y 3t 2 1t 3 dt dy y 1t 3 1t 3 dt dy y 1t 3 1t 3 dtc ln yln 1t 3c yc1t 3 Mas y 01 logo temos 1c 10 c1 Assim a solução fica y1t 3 b dy dt 2t 1 y Separando variáveis e integrando temos 1 y dy2t dt 1 y dy 2tdtc y y 2 2 t 2c Mas y 01 logo temos 1 1 20c c3 2 Assim a solução fica y y 2 2 t 2 3 2 y 2 2 yt 2 3 20 y 1 14 1 2t 23 2 2 1 2 y1 12t 2 3 2 y112t 23 y42t 21 c sin 3 y dy dt cos 2t Separando variáveis e integrando temos sin 3 y dycos 2t dt sin 3 y dycos2t dtc 1 3 cos 3 y 1 2 sin2t c Mas y π 1 logo temos 1 3 cos 3 1 2 sin2πc 1 3 cos 3 c Assim a solução fica 1 3 cos 3 y 1 2 sin2t 1 3 cos 3 cos 3 y 3 2 sin2t cos 3 y1 3 arccos 3 2 sin2t cos 3 OUI Questão 2 Temos y 3cost3 y 2g dy dt 0 y 3cost dt 3 y 2gdy0 Aqui para ser exata devemos ter t 3 y 2 g y y 3cost 3 y 2 d d t g cost d d y y 3 3 y 2 dg dt cost 3 y 2 dg dt cos t Integrando obtemos gsintC Questão 3 Temos dy dt 2 12t y 2 12t 12t 2 dy dt y1 1 2t dy dt y1 1 2t dy dt 1 y1 1 2t y 1 2t y1 1 2t y 1 2t y 1 2t 2 1 1 2t 2 y 1 2t 1 1 2t 2 Integrando de ambos lados temos y 1 2t 1 1 2t 2 dt c y 1 2t 1 1 2t c y1c 1 2t Mas y 1 21 logo temos 11c 1 21 2 11 Ou seja a constante c pode ser qualquer Assim a solução é y1c 1 2t Questão 4 a y t 3 yt 3 y 5 Esta é uma equação de bernoulli Assim a solução sera Ie1n pdt y 1n1 I 1nqIdtC Assim temos Ie15 t3dt Ie 4t3dt Ie t 4 Logo y 15 1 e t 4 15 t 3e t 4dtC y 4e t 4 4t 3e t 4 dt C y 4e t 4 t 4 e t 4 dtC y 4e t 4 e t 4 dtC y 4e t 4 e t 4 C y 41C e t 4 y1C e t 4 14 b y t 4 yt 3 y 21 Temos y1t Logo propomos yu y1ut Assim temos ut t 4 ut t 3 ut 21 u 1ut 4t 5t 3 u 22tut 21 u ut 4t 5u 2t 32t 4ut 50 u ut 4u 2t 32t 4u0 u ut 4u 2t 32t 4u0 u u 2t 3t 4u0 u t 4ut 3u 2 Esta é uma equação de bernoulli Assim a solução será Ie1n pdt u 1n1 I 1nqIdtC Logo Ie12 t4dt Ie t 4dt Ie t 5 5 Logo u 12 1 e t 5 5 12 t 3e t 5 5 dt C u 1e t 5 5t 3e t 5 5 dtC Logo temos y y1u yt 1 e t 5 5 t 3e t 5 5 dtC aqui foi deixado em função da integral pois esta não possui nenhuma solução explicita em termos de funções comuns MAKE IT MINE Questão 1 a 𝑑𝑦 𝑑𝑡 3𝑡2𝑦 1 𝑡3 Separando variáveis e integrando temos 𝑑𝑦 𝑦 3𝑡2 1 𝑡3 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦 1 𝑡3 1 𝑡3 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦 1 𝑡3 1 𝑡3 𝑑𝑡 𝑐 ln 𝑦 ln1 𝑡3 𝑐 𝑦 𝑐1 𝑡3 Mas 𝑦0 1 logo temos 1 𝑐1 0 𝑐 1 Assim a solução fica 𝒚 𝟏 𝒕𝟑 b 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑡 1 𝑦 Separando variáveis e integrando temos 1 𝑦𝑑𝑦 2𝑡𝑑𝑡 1 𝑦𝑑𝑦 2𝑡𝑑𝑡 𝑐 𝑦 𝑦2 2 𝑡2 𝑐 Mas 𝑦0 1 logo temos 1 1 2 0 𝑐 𝑐 3 2 Assim a solução fica 𝑦 𝑦2 2 𝑡2 3 2 𝑦2 2 𝑦 𝑡2 3 2 0 𝑦 1 1 4 1 2 𝑡2 3 2 2 1 2 𝑦 1 1 2 𝑡2 3 2 𝑦 1 1 2𝑡2 3 𝒚 𝟒 𝟐𝒕𝟐 𝟏 c sin3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 cos 2𝑡 Separando variáveis e integrando temos sin3𝑦 𝑑𝑦 cos 2𝑡 𝑑𝑡 sin3𝑦 𝑑𝑦 cos 2𝑡 𝑑𝑡 𝑐 1 3 cos3𝑦 1 2 sin 2𝑡 𝑐 Mas 𝑦𝜋 1 logo temos 1 3 cos3 1 2 sin2𝜋 𝑐 1 3 cos3 𝑐 Assim a solução fica 1 3 cos3𝑦 1 2 sin 2𝑡 1 3 cos3 cos3𝑦 3 2 sin 2𝑡 cos3 𝒚 𝟏 𝟑 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟑 Questão 2 Temos 𝑦3 cos 𝑡 3𝑦2𝑔 𝑑𝑦 𝑑𝑡 0 𝑦3 cos 𝑡𝑑𝑡 3𝑦2𝑔𝑑𝑦 0 Aqui para ser exata devemos ter 𝑡 3𝑦2𝑔 𝑦 𝑦3 cos 𝑡 3𝑦2 𝑑 𝑑𝑡 𝑔 cos 𝑡 𝑑 𝑑𝑦 𝑦3 3𝑦2 𝑑𝑔 𝑑𝑡 cos 𝑡 3𝑦2 𝑑𝑔 𝑑𝑡 cos 𝑡 Integrando obtemos 𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝑪 Questão 3 Temos 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 1 2𝑡 𝑦 2 1 2𝑡 1 2𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 1 1 2 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 1 1 2 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 1𝑦 1 1 2 𝑡 𝑦 1 2 𝑡 𝑦 1 1 2 𝑡 𝑦 1 2 𝑡 𝑦 1 2 𝑡 2 1 1 2 𝑡 2 𝑦 1 2 𝑡 1 1 2 𝑡 2 Integrando de ambos lados temos 𝑦 1 2 𝑡 1 1 2 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑐 𝑦 1 2 𝑡 1 1 2 𝑡 𝑐 𝒚 𝟏 𝒄 𝟏 𝟐 𝒕 Mas 𝑦 1 2 1 logo temos 1 1 𝑐 1 2 1 2 1 1 Ou seja a constante 𝑐 pode ser qualquer Assim a solução é 𝒚 𝟏 𝒄 𝟏 𝟐 𝒕 Questão 4 a 𝑦 𝑡3𝑦 𝑡3𝑦5 Esta é uma equação de bernoulli Assim a solução sera 𝐼 𝑒1𝑛𝑝𝑑𝑡 𝑦1𝑛 1 𝐼 1 𝑛𝑞𝐼𝑑𝑡 𝐶 Assim temos 𝐼 𝑒15𝑡3𝑑𝑡 𝐼 𝑒 4𝑡3𝑑𝑡 𝐼 𝑒𝑡4 Logo 𝑦15 1 𝑒𝑡4 1 5𝑡3𝑒𝑡4𝑑𝑡 𝐶 𝑦4 𝑒𝑡4 4𝑡3𝑒𝑡4𝑑𝑡 𝐶 𝑦4 𝑒𝑡4 𝑡4𝑒𝑡4𝑑𝑡 𝐶 𝑦4 𝑒𝑡4 𝑒𝑡4 𝑑𝑡 𝐶 𝑦4 𝑒𝑡4𝑒𝑡4 𝐶 𝑦4 1 𝐶𝑒𝑡4 𝒚 𝟏 𝑪𝒆𝒕𝟒 𝟏𝟒 b 𝑦 𝑡4𝑦 𝑡3𝑦2 1 Temos 𝑦1 𝑡 Logo propomos 𝑦 𝑢 𝑦1 𝑢 𝑡 Assim temos 𝑢 𝑡 𝑡4𝑢 𝑡 𝑡3𝑢 𝑡2 1 𝑢 1 𝑢𝑡4 𝑡5 𝑡3𝑢2 2𝑡𝑢 𝑡2 1 𝑢 𝑢𝑡4 𝑡5 𝑢2𝑡3 2𝑡4𝑢 𝑡5 0 𝑢 𝑢𝑡4 𝑢2𝑡3 2𝑡4𝑢 0 𝑢 𝑢𝑡4 𝑢2𝑡3 2𝑡4𝑢 0 𝑢 𝑢2𝑡3 𝑡4𝑢 0 𝑢 𝑡4𝑢 𝑡3𝑢2 Esta é uma equação de bernoulli Assim a solução será 𝐼 𝑒1𝑛𝑝𝑑𝑡 𝑢1𝑛 1 𝐼 1 𝑛𝑞𝐼𝑑𝑡 𝐶 Logo 𝐼 𝑒12𝑡4𝑑𝑡 𝐼 𝑒 𝑡4𝑑𝑡 𝐼 𝑒𝑡5 5 Logo 𝑢12 1 𝑒𝑡5 5 1 2𝑡3𝑒𝑡5 5 𝑑𝑡 𝐶 𝑢1 𝑒 𝑡5 5 𝑡3𝑒𝑡5 5 𝑑𝑡 𝐶 Logo temos 𝑦 𝑦1 𝑢 𝒚 𝒕 𝟏 𝒆 𝒕𝟓 𝟓 𝒕𝟑𝒆𝒕𝟓 𝟓 𝒅𝒕 𝑪 aqui foi deixado em função da integral pois esta não possui nenhuma solução explicita em termos de funções comuns