Resolucao de Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias - Exercicios e Solucoes

Trabalho sobre Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias 4 Resolva os seguintes itens a Encontre a solução do PVI xt 0 0 1 2 0 0 1 2 4 xt com x0 7 5 5 b Resolva o sistema xt2 1 3 0 2 1 0 0 2 xt c Determine a solução geral para o sistema xtAxte3t z onde A1 4 1 1 e z10 1 d Considere a equação diferencial ordinária linear de terceira ordem ytyt0 i Transforme a EDO acima em um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem ii Determine a solução geral do sistema encontrado no item anterior iii Resolva o seguinte PVI ytyt0 y01 y02 y04 EDO Meu Guru a Queremos resolver o sistema Xt0 0 1 2 0 0 1 2 4 Xt ou xtzt yt2xt ztxt2yt4zt dada a condição inicial x07 y05 e z05 Note que xtyt2 xtyt2 ztyt2 ztyt2 Substituindo na terceira equação temos yt2 yt2 2yt 2yt yt4ytyt4yt0 EDO linear de 3ª ordem homogênea A equação característica associada é λ³4λ²λ40 Note que λ₁1 é raiz da equação Daí 0λ³4λ²λ4 λ1λ²3λ4λ1λ1λ4 Daí λ₂1 e λ₃4 são as outras raízes Logo γtC₁ et C₂ et C₃ e4t γtC₁ et C₂ et 4 C₃ e4t γtC₁ et C₂ et 16 C₃ e4t Como xtγt2 temos xtC₁2 et C₂2 et 2 C₃ e4t Por fim ztγt2 C₁2 et C₂2 et 8 C₃ e4t Usando a condição inicial temos 7 x0C₁2 C₂2 2 C₃ 5 γ0C₁ C₂ C₃ 5 z0 C₁2 C₂2 8 C₃ C₁ C₂ C₃ 5 C₁ C₂ 4 C₃ 14 C₁ C₂ 16 C₃ 10 C₁ C₂ C₃ 5 2C₂ 3C₃ 9 15 C₃ 15 Portanto C₃ 1 C₂ 6 C₁ 12 Logo a solução do PVI é xt 6 et 3 et 2 e4t yt 12 et 6 et e4t zt 6 et 3 et 8 e4t b Dado o sistema xt 2 1 3 0 2 1 0 0 2 Xt an xt 2xt yt zt yt 2 yt zt zt 2 zt Note que zt 2 zt zt C₁ e²t Substituindo na segunda equação yt 2 yt C₁ e²t e²t yt 2 e²t yt C₁ ddt e²t yt C₁ e²t yt C₁ t C₂ yt C₁ t e²t C₂ e²t Substituindo na primeira equação xt 2 xt C₁ t e²t C₂ e²t C₁ e²t e²t xt 2 e²t xt C₁ t C₂ C₁ ddt e²t xt C₁ t C₂ C₁ e²t xt C₁ t² C₁ C₂ t C₃ xt C₁ t² e²t C₁ C₂ t e²t C₃ e²t Logo a solução do sistema é xt C₁ t² e²t C₁ C₂ t e²t C₃ e²t yt C₁ t e²t C₂ e²t zt C₁ e²t c Queremos resolver o sistema xt xt 4 yt 10 e³t yt xt yt e³t Isolando xt na segunda equação xt yt yt e³t xt yt yt 3 e³t Daí na primeira equação yt yt 3 e³t yt yt e³t 4 yt 10 e³t yt 2 yt 3 yt 8 e³t A equação característica da equação homogênea associada é λ² 2 λ 3 0 onde λ₁ 1 e λ₂ 3 Daí a solução da homogênea é γₕt C₁ et C₂ e³t Como e³t está na base de soluções da homogênea uma solução particular d i Dada a EDO yt yt 0 temos x₁t yt derivando x₁t yt x₂t x₂t yt em t x₂t yt yt x₁t Portanto obtemos o sistema x₁t x₂t x₂t x₁t ii No sistema anterior como x₁t x₂t então x₁t x₂t x₁t x₁t x₁t 0 A equação característica da EDO é λ² 1 0 donde λ₁ 1 e λ₂ 1 Portanto x₁t C₁ eᵗ C₂ eᵗ x₂t x₁t C₁ eᵗ C₂ eᵗ Logo a solução do sistema é x₁t C₁ eᵗ C₂ eᵗ x₂t C₁ eᵗ C₂ eᵗ iii Dos itens i e ii temos yt x1t c1 et c2 et yt c1 et c2 et c3 isto é yt c1 et c2 et c3 é a solução da EDO yt yt 0 Assim yt c1 et c2 et yt c1 et c2 et Para as condições iniciais y0 1 y0 2 e y0 4 temos 1 y0 c1 c2 c3 1 2 y0 c1 c2 2 4 y0 c1 c2 3 Somando as equações 2 e 3 temse que 2 c1 8 donde c1 4 Substituindo na equação 2 temos c2 2 c1 2 Por fim na equação 1 temos c3 1 c1 c2 1 4 2 5 Logo a solução do PVI é yt 4 et 2 et 5