Exercícios Resolvidos sobre Limites e Continuidade de Funções - Cálculo

12ª Questão Sejam f X IR e a X A fim de que exista lim fx é suficiente que para toda sequência de pontos xn X a com lim a a sequência fxn seja convergente 13ª Questão Sejam f X IR g Y IR com fX Y a X e b Y Y Se lim fxb e lim fxb xa xa prove que lim gfx c contanto que c gb ou então que x a implique fx b 14ª Questão Sejam f g X IR definidas por fx 0 se x é irracional e fx x se x Q g0 1 e gx 0 se x 0 Mostre que lim fx 0 e lim gy 0 x0 y0 Porém não existe lim gfx x0 15ª Questão Dada a função fx 3 se x Z 1 se x IR Z en que pontos do domínio de não existe limite 16ª Questão Seja f IR IR a função identidade ou seja fx x para todo x IR Então prove as seguintes afirmações a lim fx lim x a para todo a IR xa xa b lim xn an n Nusar indução xa xa c lim px pa onde px anxn an1xn1 a1x a0 xa xa d lim fx fa onde fx px e qx são polinômios e qa 0 xa qx px e Seja fx px o quociente de dois polinômios Se qa 0 então a é uma raiz qx de qx e portanto x a divide qx Seja m 1 tal que qx x amq1x com q1a 0 e seja n 0 tal que px x amp1x com p1a 0 Então i Se m n lim fx ii Se m n lim fx 0 xa p1a q1a xa xa ii Se m n não existe lim fx 17ª Questão Seja f IR IR a função definida por fx 0 se x Q 1 se x IR Q Prove que não existe lim fx para todo a IR Mas se gx x afx prove que lim gx 0 xa xa 2 18ª Questão Seja f Q IR a função definida por 1 se q é uma função irredutível com q 0 fx 1 se x 0 q q Prove que lim fx 0 para todo a IR xa 19ª Questão Seja f IR 0 IR a função definida por fx sin 1x Então não existe lim fx x0 20ª Questão Seja f tal que fx x yx IR Prove que f é contínua em 0 21ª Questão Supor x 0 fx gx x IR Prove que f é contínua em 0