Lista de Exercícios - Análise Real 2

Universidade Estadual de Maringa UEM Curso Matematica Lista 2 de Andalise Real 2 Professor Marcelo Moreira Cavalcanti 1 1 1 1 Questao Defina f 01 IR pondo f0 0e fx mo a 2 On 1 n INU 0 Prove que f é integravel e calcule fxdz 0 22 Questao Seja f aa R integravel Se f é uma fungdo impar prove que fxdx 0 Se porém f é par prove que fxdx 2 fxdx a a 0 3 Questao Seja f uma funcao definida em um intervalo nao trivial I qualquer in tegravel em qualquer intervalo fechado e limitado contido em Ie sejaa J I derivavel em 2 J Dado a I seja G J Ra funcao dada por ax Ga fxdz Se f é continua em a entao G é derivavel em x9 com G ao a x0 faxo 2x 5 4 Questao Seja F 000 R dada por Fx e dt Ache os extremos relativos absolutos e os pontos de inlexao de F 5 Questao Seja f ab R uma fungao integravel com fx 0 para todo b x ab Se f é continua no ponto c ab e fc 0 prove que fxdx 0 6 Questao prove que se fg ab R sao continuas entao b 9 b b Lf reyateyae rtoyae oleae Desigualdade de Schwarz 7 Questao Seja f ab R una fungao limitada Se f é integrdvel em cada intervalo c b com a c b entao é integravel em a 8 Questao Prove que a funcao f 01 R definida por f0 1e fx sin se 0a 1 é integravel em 0 1 1 9 Questao Prove que para quaisquer m e n inteiros nao negativos I In min xz 1 xdx mn 1 10 Questao Estude a convergéncia das seguintes integrais improprias Cos x sina sin a 00 dx a CST p sme ae c sinh ie a ae 0 x 0 x 0 v 1 x 2 112 Questao Estudar a convergéncia das seguintes integrais e se convergem calcular seu valor 00 dx 00 dz 0 b d ais o f o sear a f ahioead o wo ea x log xdx 0 9 cosz 9 1 cos x dx h adr i e7 de 6 1 wvVvur1 9 V4 2x 1 1e oo 00 1 1 j lr 3ledx k rellda 1 ae 0 0 1 l 12 Questao Funcgoes gamma e beta de Euler Prove que dados t uv 0 00 as siguientes integrais sao convergentes too 1 a It ate dr b Bu v a 12dx 0 0 13 Questao Prove que It1 It para todo t 0 14 Questao Prove que In 1 n para todo inteiro n 0 15 Questao Levando em conta a fungao I e sabendo que I3 7 00 9 00 9 00 a re dx b 3 dx c ee dar 0 0 oo 1 oo 5 00 5 d rlogadx e we dx f x 3e dx 0 oo 0 2