Lista de Exercícios de Funções Deriváveis

Lista de exercícios de funções deriváveis 1 Seja 𝑓 ℝ ℝ constante ou seja existe 𝑐 ℝ tal que 𝑓𝑥 𝑐 para todo 𝑥 ℝ Calcular 𝑓 𝑎 0 para todo 𝑎 ℝ 2 Seja 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑐𝑥 𝑑 e seja 𝑎 ℝ Calcular 𝑓 𝑎 3 Seja 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥2 e seja a ℝ Calcular 𝑓 𝑎 4 Seja 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥𝑛 𝑛 ℕ e seja 𝑎 ℝ Calcular 𝑓 𝑎 5 Seja 𝑓 ℝ ℝ a função definida por 𝑓 𝑥 𝑥 a Calcular 𝑓 0 𝑓 0 b calcular 𝑓 𝑎 se 𝑎 0 e 𝑓 𝑎 se 𝑎 0 6 Seja 𝑓 0 ℝ definida por 𝑓 𝑥 𝑥 e seja 𝑎 0 Calcular 𝑓𝑎 se 𝑎 0 e provar que f não é derivável no ponto zero 8 Seja f ℝ ℝ a função definida por fx 𝑥 𝑛 𝑠𝑒 𝑥 𝑛 𝑛 1 2 𝑛 1 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 1 a Calcular 𝑓 𝑥 em todo 𝑥 ℝ 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 1 2 𝑛 ℤ b Provar que f não é derivável nos pontos 𝑛 e 𝑛 1 2 𝑛 ℕ 9 Se 𝑓 𝑋 ℝ é derivável no ponto 𝑎 𝑋 𝑋 então 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓𝑎 𝑓 𝑎 ℎ 𝑟 ℎ com lim ℎ0 𝑟 ℎ ℎ 0 a Se 𝑓 𝑥 𝑥2 determine 𝑟 ℎ b Se 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 determine 𝑟 ℎ 10 Seja 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 1 se x 0 1 se x 0 a Prove que f e contínua à direita no ponto zero e calcule 𝑓 0 b Prove que f não é contínua à esquerda no ponto 0 e verifique que não existe a derivada a esquerda de f no ponto 0 c Conclua que f não é contínua no ponto 0 11 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥3 e uma bijeção contínua com inversa contínua 𝑔 ℝ ℝ com 𝑔 𝑦 3 𝑦 Calcule 𝑓 𝑎 para todo 𝑎 0 e determine 𝑔 𝑏 para todo 𝑏 ℝ 0 12 Seja 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥2 Verifique que f possui um máximo local estrito no ponto 0 13 Seja 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 sen x Verifique que 𝑔 possui máximos locais estritos nos pontos 4𝑘 1 𝜋 2 e possui mínimos locais estritos nos pontos 4𝑘 1 𝛱 2 14 Verifique que a função ℎ ℝ ℝ dada por ℎ 𝑥 1se 𝑥 0 1se 𝑥 0 possui um máximo local nãoestrito no ponto 0 15 Verifique que a função ϕ ℝ ℝ 𝜑 𝑥 𝑥2 1 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 se 𝑥 0 e 𝜑 0 0 é contínua em toda a reta e possui um mínimo local não estrito no ponto 0 16 Seja a função 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 se 𝑥 0 𝑒 𝑓 0 0 a Prove que 𝑓 é contínua em toda a reta b Prove que 𝑓 é derivável 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 0 𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙e 𝑓 𝑥 para todo 𝑥 0 c Verifique que 𝑓 não e derivável no ponto zero 17 Seja a função 𝑔 ℝ ℝ 𝑔𝑥 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 se 𝑥 0 e 𝑔0 0 a Prove que 𝑔 é contínua em toda a reta b Prove que 𝑔 é derivável em toda a reta 𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙e 𝑔 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 x ℝ c Verifique que 𝑔 ℝ ℝ não é contínua no ponto zero 18 Seja a função φ ℝ ℝ definida por φ 𝑥 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 𝑥 2 se 𝑥 0 e φ 0 0 a Prove que ϕ é contínua e derivável em toda a reta Calcule φ 𝑥 para todo 𝑥 ℝ e calcule φ 0 b Prove que ϕ não é crescente em vizinhança alguma do ponto 0 c Conclua que ϕ não pode ser injetiva em intervalo algum do tipo 0 𝛿 ou 𝛿 0 𝛿 0 19 Seja ℎ 1 1 ℝ definida por ℎ 𝑥 1 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 1 1𝑥2 se 𝑥 1 e ℎ1 0 Prove que existe 𝑐 1 1 tal que ℎ𝑐 0 Verifique que 𝑐 0 20 Seja 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 𝑒𝑥 a Prove que 𝑒𝑥 1 𝑥 para todo 𝑥 0 b b Prove que lim 𝑥 𝑥𝑛 𝑒𝑥 0 para todo 𝑛 ℕ c Prove que lim 𝑥 𝑝𝑥 𝑒𝑥 0 para todo polinômio 𝑝 𝑥 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑎0 21 Seja 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓 𝑥 𝑒 1 𝑥2 se 𝑥 0 e 𝑓0 0 a Prove que 𝑓 é contínua em toda a reta b Prove que 𝑓 é derivável em toda a reta e calcule 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ 22 Seja 𝑓 ℝ ℝ a função 𝑓 𝑥 𝑒 1 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 a Calcule lim 𝑥0𝑓 𝑥 b Calcule lim 𝑥0𝑓 𝑥 c Verifique que 𝑓 não é contínua no ponto zero d Verifique que 𝑓 é continua à direita no ponto zero e Prove que 𝑓 e derivável à direita no ponto 0 e verifique que 𝑓0 0 d Calcule lim 𝑥0 𝑓 𝑥