Cadernos de Cálculo - Unidade 3: Campos Vetoriais

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Área de Matemática Cadernos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais Prof Dr Afonso Henriques 2021 Objetos de estudo previstos na Programação da Disciplina para CAMPOS VETORIAIS Unidade 3 CAMPOS VETORIAIS Definições e aplicações Campo quadrado inverso Lei da gravitação universal de Newton Lei de Coulomb Campo conservativo Rotacional de um campo vetorial Divergência de um campo vetorial Integrais curvilíneas Trabalho Independência de caminho BONS ESTUDOS PARA TODOS 2200119922 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 SUMÁRIO 3 CAMPO VETORIAL 1 31 Introdução Definição e aplicações 1 32 Do bloco logos da seção 31 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 3 33 Campos quadrado inverso conservativo Rotacional e Divergente 6 34 Do bloco logos da seção 33 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 12 35 Integrais Curvilíneas 18 36 Do bloco logos da seção 35 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 21 37 Trabalho 25 38 Do bloco logos da seção 37 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 26 39 Independência de caminho 28 310 Do bloco logos da seção 39 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 30 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 34 1 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 3 CAMPO VETORIAL Neste módulo nos debruçaremos sobre o estudo de campos vetoriais em 2 e em 3D 31 Introdução Definição e aplicações Consideramos inicialmente uma região R qualquer Se a cada ponto K desta região é associado exatamente um vetor com origem no ponto K então o conjunto de todos esses vetores constitui um campo vetorial A Figura 31a por exemplo é uma ilustração de um campo vetorial definido por uma roda em movimento em torno de um eixo Figura 31 Sistema de coordenadas cartesianas tridimensional a b A cada ponto da roda corresponde um vetor velocidade Um campo vetorial deste tipo é chamado campo de velocidade Os fluxos de água ou de vento também podem determinar um campo de velocidade A Figura 31 b é uma ilustração de vetores velocidades associados às partículas fluídas em movimento em um rio ou fluxo de água corrente As duas figuras permitem exibir apenas alguns vetores do campo vetorial É fundamental termos em mente que para cada ponto da região está associado um vetor Um dos tipos de campos frequente nos estudos da mecânica e de eletricidade é o campo força Sendo este um campo vetorial em que cada ponto está associado um vetor força Nas ilustrações dos vetores que trataremos admitiremos que os mesmos independam do tempo Tais campos vetoriais são ditos estacionários e são os únicos que estudaremos De maneira análoga às estratégias empregadas na representação de uma curva no plano ou de uma superfície no espaço tridimensional no registro gráfico sublinhase aqui também que dado um campo vetorial tridimensional devemos no registro gráfico introduzimos um sistema de coordenadas xyz e denotaremos por F x y z o vetor associado ao ponto Kxyz conforme indicado na Figura 32 a Figura 32 Visualização dos vetores campos de e F x y associados aos pontos Kxyz e Kxy respectivamente no registro gráfico 2 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 a b Obs Os componentes de F são as coordenadas x y e z do ponto K Assim podemos escrever i j k F x y z M x y z N x y z P x y z onde M N e P são funções escalares definidas no espaço tridimensional Reciprocamente toda equação desse tipo define um campo vetorial De forma análoga denotaremos por F x y o vetor associado ao ponto Kxy conforme indicado na Figura 32 b Neste caso escrevemos onde M N são funções escalares definidas no espaço bidimensional Obs É importante lembrar também que i j e k ou i e j são os vetores ortonormais que compõem a base canônica tridimensional ou bidimensional respectivamente sendo i 100 j 010 k 001 No espaço tridimensional i 10 j 01 No espaço bidimensional No registro gráfico temos as representações correspondentes indicadas na Figura 33 Figura 33 Visualização de bases canônicas no registro gráfico Um campo vetorial pode ser também entendido como uma função conforme descrito a seguinte definição Definição 31 Um campo vetorial em três dimensões é uma função F cujo o domínio D é um subconjunto de R3 e cujo contradomínio é um subconjunto de V3 de vetores tridimensionais Assim se x y z está em D então i j k F x y z M x y z N x y z P x y z onde M N e P são funções escalares 3 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Analogamente se o domínio D é um subconjunto do planoxy e o contradomínio é um subconjunto de V2 de vetores bidimensionais então um campo vetorial em duas dimensões é dado por i j F x y M x y N x y onde M N são funções escalares Nas aplicações às vezes nos deparamos com tarefas que requerem a descrição de um campo vetorial Para isso é essencial apresentar uma tarefa preliminar que envolve a representação do campo no registro gráfico esboçandose assim alguns vetores do campo em questão capazes de permitir a compreensão do comportamento do campo Ou seja para descrever um campo é necessário esboçar alguns vetores desse campo no registro gráfico Assim termina a apresentação do bloco tecnológicoteórico referente introdução e definição de um campo vetorial bi e tridimensional passando a título de treinamento ao bloco práxis T propondose assim as tarefas enunciadas a seguir 32 Do bloco logos da seção 31 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos GERADOR DE TAREFA 1 GT1 Considerar o campo vetorial dado por para realizar as seguintes tarefas t1 Representar ao menos oito vetores do campo F no registro numérico utilizando uma tabela contendo quatro colunas e pelo menos nove linhas t2 Representar o campo F no registro gráfico utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT1 t3 Descrever o comportamento geral desse campo Fonte Dados de estudo Resolução da t1 de GT1 LEMBRETE Estudamos no Módulo 1 Unidade 0 que uma técnica denotada pela letra grega é uma maneira de fazer ou realizar uma determinada tarefa T Assim para realizar a t1 de GT1 devemos considerar as seguintes técnicas 1 Perceber que se trata de um campo vetorial bidimensional 2 Construir a referida tabela contendo quatro colunas e pelo menos nove linhas 3 Entrar na primeira coluna e primeira linha com os símbolo x y representante dos pares ordenados Kab do planoxy que vamos escolher sendo oito pares no mínimo Atenção a escolha dos pares de pontos para K deve ser realizada de modo que favoreça uma boa leitura do comportamento dos vetores do campo como ocorre na Figura 31 4 Entrar na segunda coluna e primeira linha com a expressão algébrica do campo vetorial em questão isto é yi xj 5 Entrar na terceira coluna e primeira linha com o par u v representante das coordenadas de um vetor campo aplicado no ponto Kab 6 Entrar na quarta coluna e primeira linha com o par Eau bv representante do resultado da 4 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 adição das coordenadas correspondentes do ponto Kab posição inicial de cada vetor com as coordenadas u v do vetor campo de origem no ponto K Obs O ponto E indicará a extremidade do vetor campo de origem no ponto K Aplicando essas técnicas temos o resultado esperado para t1 e indicado na Tabela 31 em que na aplicação da técnica 3 escolheuse os pontos K que são vértices de quadrados concêntricas inscritos em circunferências de centro na origem de sistema de coordenadas plano Tabela 31 Representação de oito vetores campos no registro numérico x y u v Eau bv K1 1 1 1 E0 2 K1 1 1 1 E2 0 K1 1 1 1 E0 2 K1 1 1 1 E2 0 K2 2 2 2 E0 4 K2 2 2 2 E4 0 K2 2 2 2 E0 4 K2 2 2 2 E4 0 Resolução da t2 de GT1 Para realizar esta tarefa isto é representar o campo F no registro gráfico devemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas plano 2 Marcar nesse sistema cada ponto K e cada E obtidos na realização de t1 do GT1 3 Traçar cada vetor de origem no ponto K com extremidade no ponto E correspondente em conformidade com o resultado obtido na realização de t1 do GT1 Aplicando essas técnicas temos o resultado apresentado na Figura 34 Figura 34 Visualização de oito vetores da função vetorial i j F x y y x no registro gráfico Observando no resultado apresentado na Figura 34 é possível notarmos que os vetores i j F x y y x têm o mesmo comportamento dos vetores descritos por uma roda em movimento em torno de um eixo no sentido antihorário Neste caso o eixo correspondente à reta perpendicular aos eixos coordenado do planoxy passando na origem 00 5 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Resolução da t3 de GT1 Para realizar esta tarefa isto é descrever o comportamento geral do campo vetorial de consideremos um ponto qualquer Kxy e o seu vetor posição identificamos por r dado por LEMBRETE Todo ponto seja Kxy do plano ou Kxyz do espaço do espaço 3D é extremidade de um vetor posição Um vetor é dito posição quando tem origem na origem do sistema de coordenadas e extremidade no ponto K Assim i j r x y é o vetor posição do ponto Kxy e i j k r x y z é o vetor posição do ponto Kxyz Podemos observar que o produto escalar dos dois vetores F e r é zero De fato Isso mostra que os dois vetores serão sempre ortogonais independentemente da posição do ponto K no plano Essa propriedade ocorre também entre o raio de uma circunferência e um vetor tangente a esta circunferência em qualquer que seja o seu ponto Isso confirma a ideia inicial de que é conveniente para a descrição desse campo escolher pontos que sejam vértices de quadrados inscritos em circunferência Além disso esse campo tem a propriedade de que a norma do vetor F é igual ao raio da referida circunferência ou seja Essa relação nos informa na medida em que o ponto K se afasta da origem do sistema de coordenadas cartesianas plano a norma do vetor campo de F aumenta como se pode observar na realização da T2 Figura 33 Concluise assim a descrição deste campo ATENÇÃO Esse exemplo não é padrão Ou seja não significa que todo o campo vetorial bidimensional tem que ter um comportamento rotacional em torno de um eixo De maneira análoga aos gráficos de funções escaleres cada campo vetorial tem o seu comportamento que depende de expressões algébricas das funções escalares M e N que lhe exprimem EXERCÍCIOS PROPOSTOS GERADOR DE TAREFA 2 GT2 Considerar os campos vetoriais dado por F1 i j x y x y F2 2 i 3 j x y x y F1 i j x y x y 2 2 F3 i j x y y x x y F1 i j x y para realizar as seguintes tarefas para cada um desses campos t1 Representar ao menos oito vetores do campo F no registro numérico utilizando uma tabela com quatro colunas e pelo menos nove linhas t2 Representar o campo F no registro gráfico utilizando o resultado obtido na realização de t1 de T2 t3 Descrever o comportamento geral desse campo 6 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Passemos ao estudo dos campos quadrado inverso campo conservativo Rotacional e Divergente 33 Campos quadrado inverso conservativo Rotacional e Divergente O campo Quadrado inverso é considerado como um dos mais importantes campos vetoriais em Física conceituado conforme apresentado na Definição 32 Definição 32 Seja o vetor posição do ponto x y z e denotemos o vetor unitário u na mesma direção do vetor por Um campo vetorial F é um campo quadrado inverso se 2 3 F c x y z u r c r r onde c é um escalar GERADOR DE TAREFA 3 Quadro 32 Gestão de tarefa como segundo exemplo de campos vetoriais GT3 Considerar o campo vetorial F x y z apresentado na Definição 32 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever o comportamento geral desse campo t2 Representar esse campo no registro gráfico utilizando o resultado obtido na realização de t1 do GT3 Fonte Dados de estudo Resolução da t1 de GT3 Para realizar essa tarefa devemos considerar as seguintes técnicas 1 Expressar o vetor posição r enquanto vetor posição de componentes x y e z 2 Expressar o campo vetorial F em função dos componentes de r 3 Analisar os vetores no campo utilizando o vetor posição r e a constante c 4 Calcular a norma do vetor campo F 5 Analisar o comportamento dos vetores campo de F na medida em que os pontos Kx y z se afastam da origem Aplicando essas técnicas temos 1 Expressando r enquanto vetor posição de Kx y z temos i j k r x y z 2 Por definição temos que o campo quadrado inverso é dado por 7 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 F i j k c x y z u r c r x y z x y z c x y z x y z Podemos notar que o vetor campo assim expresso pode ser reescrito conforme a Definição 31 destacando os componentes M N e P Contudo podemos simplesmente aplicar a técnica 3 Ora para qualquer ponto Kxyz fixo diferente da origem 000 temse que 3 2 2 2 2 x y z é um número real positivo Assim podemos escrever F x y z c r o que significa dizer que F x y z é múltiplo escalar do vetor r Agora se c 0 então diremos que F x y z é múltiplo escalar negativo do vetor r Essa última informação nos diz que para c 0 os vetores F x y z apontam para origem partindo do ponto K Pelo mesmo raciocínio se c 0 então ocorre o contrário isto é os vetores F x y z apontam no sentido contrário partindo do ponto K Aplicando a técnica 4 isto é calcular a norma do vetor campo temse 3 3 2 F F c c c x y z r r x y z r r r Esse último resultado significa dizer que a norma do vetor campo F x y z é inversamente proporcional ao quadrado da distância no ponto Kx y z a origem 000 do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional Assim aplicando a técnica 5 podemos afirmar que o campo F x y z se comporta da seguinte forma na medida em que o ponto Kx y z se afasta da origem 000 a norma do vetor campo diminui e os vetores apontam para origem 000 se c 0 e apontam no sentido da contrário partindo do ponto K se Resolução da t1 de GT3 Para realizar essa tarefa devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional para cada um dos casos descritos na realização da t1 Em seguida traçar uma quantidade suficiente de vetores em cada sistema utilizando assim as informações obtidas na t1 Procedendo desta forma temos os resultados apresentados na Figura 35 a e b Figura 35 Visualização do campo vetorial quadrado inverso no registro gráfico a caso em que c 0 b caso em que c 0 As duas definições seguintes se referem à força da gravidade e a lei de Coulomb 8 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 enquanto determinantes de campos vetoriais quadrados inversos respectivamente Definição 33 De acordo com a lei de gravitação universal de Newton se uma partícula de massa m0 está situada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional xyz então a força exercida sobre uma partícula de massa m localizada em um ponto Kx y z é 0 2 F m m x y z G u r onde G é uma constante gravitacional r é o vetor posição do ponto Kx y z e u um vetor unitário na direção de u Os campos quadrados inversos também ocorrem na teoria elétrica Definição 34 A lei de Coulomb por exemplo afirma que se uma carga potencial de Q Coulomb está situada na origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional então a força Fxy z que ela exerce sobre uma carga potencial de q Coulomb em Kx y z é 2 F Qq x y z c u r onde c é uma constante e r e u são os mesmos da definição anterior Podemos observar que a lei de Coulomb tem a mesma forma da lei gravitacional universal de Newton na classe de campos quadrado inverso Obs 31 No cálculo III vimos a seguinte definição que se refere ao gradiente de uma função Definição 35 Seja f uma função escalar de três variáveis reais x y e z O gradiente de fx y z é a função vetorial dada por x y z f x y z f x y z i f x y z j f x y z k Comparando essa Definição 35 com a Definição 31 temos x y z f x y z F x y z f x y z M x y z f x y z N x y z f x y z P x y z Assim podemos dizer que o gradiente é um campo vetorial Obs 32 Os campos vetoriais que são gradientes de funções escalares recebem um nome especial descrito na seguinte definição Definição 36 Um campo vetorial F é conservativo se F x y z f x y z para alguma função escalar f Obs 34 Se F é conservativo então a função f considerada na Definição 35 é denominada função potencial para F e f x y z é o potencial dessa função no ponto x y z Com esses conhecimentos em mente é importante recordarmos sobre os estudos correspondentes desenvolvidos no Cálculo III 9 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Se Q0x0 y0 z0 é um ponto qualquer fixo no domínio da função gradiente f x y z então o vetor gradiente no ponto Q0 isto é 0 0 0 0 0 0 f x y z F x y z é um vetor normal a superfície S de nível da função f que contém o ponto Q0 Essa superfície de nível é representa no registro algébrico pela equação dada por 0 0 0 f x y z f x y z Assim é importante mobilizar a seguinte observação Obs 35 Todo vetor 0 0 0 F x y z em um campo conservativo é um vetor normal à superfície de nível de uma função potencial f para F que contém o ponto Q0 Para ilustrar essa observação podemos considerar o seguinte caso típico em que a função potencial é 2 2 1 f x y z x y z para todo 0 z Nesse caso temos que o gradiente de f é o campo 2 i 2 j k f x y z F x y z x y Seja Q0 o ponto de coordenadas 1 1 e 1 que pertence ao domínio de F Isto é Q0111 Temse portanto que 111 2 f Assim a superfície de nível S da função f que contém o ponto Q é determinada pela equação 111 f x y z f Ou seja 2 2 1 2 x y z Ou equivalentemente 2 2 3 z x y O vetor 111 2i 2j k f é normal a S no ponto Q0 No registro gráfico temos o resultado apresentado na Figura 36 Figura 36 Visualização da superfície S de equação 2 2 3 z x y e vetor gradiente 111 2i 2j k f no registro gráfico O resultado que apresentamos a seguir consiste em um dos teoremas simples e importantes nas aplicações de campos vetoriais conservativos Teorema 31 Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo Demo A demonstração desse teorema se apoia naturalmente na definição de 111 2i 2j k f Q0111 2 2 3 z x y 10 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 campos vetoriais quadrado inverso CVQI Assim conforme vimos na Definição 32 se F é um CVQI então 2 F c x y z u r Substituindo u pela sua expressão e r por 2 2 2 x y z temos 3 2 2 2 2 i j k c x y z x y z Aplicando a propriedade distributiva nessa expressão obtemos o seguinte resultado 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j k cx cy cz x y z x y z x y z Em que c é uma constante real qualquer Fazendo 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 cx M x y z x y z cy N x y z x y z cz P x y z x y z Temos que i j k F x y z M x y z N x y z P x y z Assim se F é conservativo temos que F x y z f x y z para alguma função escalar f Com efeito sendo e M x y z N x y z P x y z temos que x y z M x y z f x y z N x y z f x y z P x y z f x y z Integrando qualquer um desses componentes parcialmente o primeiro componente em relação a x ou o segundo em relação a y ou ainda o terceiro em relação a z obtémse 1 2 2 2 2 c f x y z x y z que é a função potencial que satisfaz o teorema Provandose assim o teorema Obs 36 A classe das superfícies de níveis dessa função consiste no conjunto de superfícies esféricas concêntricas na origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais ortogonal De fato para todo ponto Q0x0 y0 z0 tal que 0 0 0 0 f x y z temse que 1 2 2 2 2 c x y z Multiplicando cada membro dessa equação por 1 2 2 2 2 x y z temos 1 2 2 2 2 c x y z Elevando cada membro a potência dois temos 2 2 2 2 2 c x y z 11 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Que é a equação da superfície esférica de raio c OPERADOR DIFERENCIAL VETORIAL O operador diferencial vetorial representado pelo símbolo lêse Del em 3D é expresso por i j k x y z Se opera sobre uma função escalar f de três variáveis x y e z produz o gradiente de f ou seja f f f f i j k x y z A aplicação deste operador em campo vetorial com mobilização de noções produto vetorial ou escalar que estudamos em Álgebra Linear gera um novo campo vetorial ou uma função escalar respectivamente Começando com a geração de um novo campo designado Rotacional temos seguinte definição Definição 38 Seja i j k F x y z M x y z N x y z P x y z em que M N e P são funções escalares dotadas com derivadas parciais em alguma região do espaço tridimensional O Rotacional de F é o campo vetorial dado por rot i j k P N M P N M F F y z z x x y Obs 37 Considerando um ponto Kx y z em um fluido ou gás em rotação então rot F estará sobre o eixo de rotação desse fluido ou gás conforme ilustrado na Figura 37 Figura 37 Ilustração do rotacional sobre o eixo de rotação de um fluido ou gás A expressão do rotacional pode ser memorizada considerandose a seguinte notação i j k rotF x y z M N P Atenção conceitualmente a expressão à direita apesar de funcionar como 12 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 determinante não exatamente um determinante porque a primeira linha é composta por vetores a segunda por símbolos de derivadas parciais e a terceira por funções escalares de três variáveis reais Todavia é uma técnica eficiente para memorizarmos a fórmula apresentada na Definição 38 pois desenvolvendo esse falso determinante com as propriedades de determinante temos rot i j k P N M P N M F F y z z x x y que é exatamente a fórmula que expressa o rotacional de F enquanto campo vetorial Antes de apresentar um exemplo vejamos a última definição dessa seção Definição 39 Seja i j k F x y z M x y z N x y z P x y z em que M N e P são funções escalares dotadas com derivadas parciais em alguma região do espaço tridimensional O Divergente de F é o campo vetorial dado por div M N P F F x y z 34 Do bloco logos da seção 33 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos GERDOR DE TAREFA 4 Quadro 33 Gestão de tarefa T4 como um dos exemplos na seção 33 GT4 Considerar a função escalar dada por para realizar as seguintes tarefas t1 Determinar o campo vetorial conservativo que tenha o potencial igual a função escalar fornecida no GT4 t2 Descrever a classe das superfícies de níveis para f t3 Determinar a superfície de nível S de f que contém o ponto Q0345 e um vetor normal a S nesse ponto t4 Representar a superfície S e o vetor normal a S em Q0 no registro gráfico Fonte Dados de estudo Resolução da t1 do GT4 Para realizar essa tarefa é suficiente aplicarmos as seguintes técnicas construídas com base na definição de um campo vetorial conservativo 1 Calcular as derivadas parciais de f 2 Expressar o gradiente de f 3 Relacionar o gradiente de f com o campo vetorial F procurado Isto é estabelecer a equação F x y z f x y z para a função escalar f Assim aplicando a técnica 1 temos que as derivadas parciais de 2 2 2 2 9 16 25 x y z f x y z são 2 9 xf x y z x Derivada parcial da f em relação a x 13 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 1 8 yf x y z y Derivada parcial da f em relação a y 2 25 zf x y z z Derivada parcial da f em relação a z Aplicando a 2 obtemos 2 1 2 i j k 9 8 25 f x y z x y z Aplicando a 3 isto é sabendo que F x y z f x y z concluímos que 2 1 2 i j k 9 8 25 F x y z x y z Resolução da t2 do GT4 Para realizar essa tarefa consideramos as seguintes técnicas 1 Escolher qualquer ponto Q0x0 y0 z0 no domínio de F Pois observando os componentes de F não temos restrição algum para a escolha de Q0 2 Calcular o valor funcional de f nesse ponto Q0 que podemos identificar por q 3 Estabelecer a equação 0 0 0 f x y z f x y z q 3 Descrever a classe das superfícies de níveis para f com base no resultado obtido na aplicação da técnica 3 Procedendo com aplicação destas técnicas obtemos Aplicando a 1 escolhemos um ponto Q0x0 y0 z0 qualquer sem restrição Assim calculando o valor funcional de f no ponto Q0 temos 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 9 16 25 x y z f x y z q aplicando assim a 2 Assim aplicando a 3 temos que 2 2 2 2 9 16 25 x y z q Ou equivalentemente 2 2 2 1 9 2 16 2 25 2 x y z q q q Finalmente aplicando a técnica 3 podemos concluir que as superfícies de níveis de f que contém o ponto Q0x0 y0 z0 são elipsoides concêntricas na origem de sistema de coordenadas cartesianas tridimensional com eixo maior sobre o eixoz Note que essa conclusão é alimentada pelos conhecimentos adquiridos em Geometria Analítica sobre o estudo de Quádricas Resolução da t3 do GT4 Para realizar tarefa isto é determinar a superfície de nível de f que contém o ponto Q0345 e um vetor normal a S nesse ponto consideramos as seguintes técnicas 1 Aplicar as técnicas 2 3 e 4 consideradas na realização da t2 do GT4 2 Calcular o gradiente de f no ponto Q0345 3 Representar a S que é uma Elipsoide e o vetor gradiente no registro gráfico 14 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Procedendo com aplicação destas técnicas começamos calculando o valor funcional de f no ponto Q0345 assim temos 9 16 25 345 2 1 1 1 2 1 345 1 9 16 25 f f q De 0 0 0 f x y z f x y z q temos que 2 2 2 2 2 2 2 1 3 9 16 25 9 16 25 x y z x y z Ou seja 2 2 2 1 3 9 3 16 3 25 x y z Na realização da t1 do GT4 vimos que 2 1 2 i j k 9 8 25 F x y z x y z Assim temse que o vetor normal a S no ponto Q0345 é 2 1 2 345 i j k 3 2 5 F No registro gráfico temos o resultado apresentado na Figura 38 Figura 38 Visualização de S Elipsoide e um vetor gradiente f no registro gráfico Implementação no GeoGebra Técnica Instrumental Para utilizar a sintaxe do comando Superfície isto é Superfície Expressão Expressão Expressão Variável Parâmetro 1 Valor Inicial Valor Final Variável Parâmetro 2 Valor Inicial Valor Final É necessário parametrizar a equação da superfície Assim de 2 2 2 1 3 9 3 16 3 25 x y z eq1 podemos reescrever 2 2 25 25 75 9 16 x y z Além disso de Eq1 temos que S intercepta o planoxy segundo a elipse de equação dada por 2 2 1 3 9 3 16 x y ou equivalentemente 2 2 1 3 3 4 3 x y Essa última admite a parametrização cos 3 3 sen 4 3 x r y r ou equivalentemente 3 3 cos 4 3 sen x r y r para 0 1 e 0 2 r Assim temse 2 2 2 2 25 253 3 cos 254 3 sen 25 75 75 9 16 9 16 x r r y z z 15 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Assim a superfície S admite a seguinte parametrização 2 3 3 cos 4 3 sen com 0 1 e 0 2 75 75 x r y r r z r É essa a parametrização que deve ser implementada no GeoGebra utilizando a sintaxe do comando Superfície Vemos portanto que as técnicas instrumentais utilizadas em ambientes computacionais não se reduzem em apertar o Enter elas exigem o desenvolvimento de competências do sujeito com base nas técnicas no ambiente papellápis GERADOR DE TAREFA 5 GT5 Considerar o campo vetorial F dado por 2 2 i j 2 k F x y z x z y x y z para realizar as seguintes tarefas t1 Calcular o rotacional de F t2 Calcular o divergente de F Fonte Dados de estudo Resolução da t1 do GT5 Para realizar essa tarefa devemos considerar as seguintes técnicas 1 Identificar as expressões dos componentes M N e P do campo F 2 Aplicar o lembrete do rotacional de um campo vetorial F enquanto falso determinante 3 Substituir os componentes M N e P pelas suas respectivas expressões no lembrete 4 Desenvolver o falso determinante realizando as derivadas parciais dos componentes de F Aplicando essas técnicas a partir de 1 temos que 2 2 M N P 2 x y z x z x y z y x x y z y z Aplicando a técnica 2 3 e 4 temos 2 2 2 2 i j k i j k rot 1 0 i 0 j 0 k 2 F x y x y z x y z M N P x z y x y z Concluise portanto que o 2 2 rot i j k F F x y Resolução da t2 do GT5 Para realizar essa tarefa devemos considerar as seguintes técnicas 1 Identificar as expressões dos componentes M N e P do campo F 2 Calcular a derivada parcial de M N e de P em relação à x y e z respectivamente 16 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 3 Substituir os resultados obtidos com aplicação da 2 em div M N P F x y z Aplicando essas técnicas a partir de 1 temos que 2 2 M N P 2 x y z x z x y z y x x y z y z Aplicando a técnicas 2 temos M 2 N 2 P 2 x y z xz x x y z yx x x y z x Aplicando a técnicas 3 temos div F 2 2 2 x y z xz yx EXERCÍCIOS PROPOSTO IMERSOS NO MPGT GERADOR DE TAREFA 6 GT6 Considerar os campos vetoriais dados por i j k F x y z x y z e ijk F x y z para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever o comportamento geral de cada campo t2 Representar cada campo no registro gráfico utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT6 GERADOR DE TAREFA 7 GT7 Considerar as funções escalares dadas por 2 2 2 f x y z x y z e g x y z x y z para realizar as seguintes tarefas t1 Determinar o campo vetorial conservativo que tem o potencial dado pela função escalar f e o que tem o potencial dado pela função escalar g fornecidas no GT7 t2 Descrever a classe das superfícies de níveis para f e para g t3 Determinar uma superfície S de nível para cada função escalar f e g e um vetor normal para cada no ponto Q0002 t4 Representar cada superfície S determinada na realização da t3 e o vetor normal a cada S em Q0 no registro gráfico Obs 38 Definese o operador diferencial 2 como 2 2 2 2 2 2 2 x y z Se 2 opera sobre uma função escalar fx y z produz uma função denominada Laplaciano de f dada por 2 2 2 2 2 2 2 f f f f x y z 17 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 GERADOR DE TAREFA 8 GT8 Considerar a definição fornecida na obs38 e as funções escalares f e g dotadas de derivadas parciais segundas para realizar as seguintes tarefas t1 Provar que 2 f f t2 Provar que 2 2 2 2 fg f g g f f g 18 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 35 Integrais Curvilíneas Podemos utilizar os mesmos procedimentos desenvolvidos anteriormente durante a introdução de Integrais Duplas por analogia com a definição de b a f x dx para definirmos as integrais curvilíneas de funções de várias variáveis ao longo de curvas suave no plano 2D ou no espaço tridimensional 3D Mas queremos saber o que é curva suave Definição 310 Uma curva plana C é suave se admite uma parametrização dada no registro algébrico por x g t a t b y h t Em que g e h são funções contínuas e não simultaneamente nulas em ab Para curvas no espaço tridimensional acrescentamos uma terceira função escalar k do mesmo tipo de sorte que tenhamos zkt Ou seja a parametrização dada por x g t y h t a t b z k t Para definirmos as Integrais curvilíneas em 2D suponhamos inicialmente que uma função f de duas variáveis x e y seja contínua em uma região D que contém uma curva suave C que admite a seguinte parametrização x g t a t b y h t O objetivo é determinarmos três integrais diferentes de f ao longo de C Para isso particionamos o intervalo ab do parâmetro t escolhendo b t t t t a n 2 1 0 e denotamos por P a norma desta partição comprimento do maior subintervalo Nessas condições se Px y z é um ponto da curva C correspondente a tk então conforme mostrado na Figura 39 os pontos P0 P1 P2 Pn dividem a curva C em n partes Pk1Pk Figura 39 Visualização da partição da curva C no registro gráfico 19 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Seja 1 1 1 comprimento de k k k k k k k k k x x x y y y s P P Para cada k seja Qk uk vk um ponto em k k P P 1 obtido escolhendose um número em tk1 tk Consideramos as três seguintes somatórias k k k k k k k k k k k k f u v s f u v x f u v y Se os limites de tais somatórias existem quando P 0 então elas definem as integrais curvilíneas de f ao longo de C em relação a s x e y respectivamente denotadas por Integrais curvilíneas em 2D k k k k C P k k k k C P k k k k C P y v f u x y dy f x v f u x y dx f s v f u x y ds f lim lim lim 0 0 0 Desde que os limites existam Nas aplicações essas integrais podem ser calculadas considerando as equações paramétricas da curva C e substituir as diferenciais como segue 2 2 2 2 ds dx dy g t h t dt dxgtdt dyhtdt Assim temos o seguinte teorema de cálculos Teorema de cálculo de integrais curvilíneas 32 Se uma curva C admite a parametrização x gt y ht a t b e se fx y é uma função contínua em uma região D contendo C então 2 2 i ii iii b C a b C a b C a f x y ds f g t h t g t h t dt f x y dx f g t h t g t dt f x y dy f g t h t h t dt Se C é a curva de equação y gx tal que b x a então as equações paramétricas de C são x t y ft b t a Assim as integrais ii e iii do teorema acima podem ser calculadas como segue 20 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 b a b a C b a b a C f x g x g x dx f t g t g t dt f x y dx iii f x g x dx f t g t dt f x y dx ii Assim para curvas do tipo y gx b x a podemos evitar as equações paramétricas fazendo y gx e dy gxdx Obs Nas aplicações que envolvem trabalho as integrais curvilíneas são utilizadas na forma de combinação C M x y dx N x y dy ou C M x y dx N x y dy em que M e N são funções escalares contínuas em um domínio D Antes de passarmos para o bloco práxis convém estendermos o estudo de integrais curvilíneas para o espaço tridimensional Integrais curvilíneas em 3D Se uma curva suave C em três dimensões admite a parametrização x g t y h t a t b z k t então as integrais curvilíneas de uma função de três variáveis são definidas da mesma maneira que no caso de funções de duas variáveis Ou seja k k k k P C s f u v w f x y z ds lim 0 ou equivalentemente dt k t h t g t f g t h t k t x y z ds f b a C 2 2 2 Se um arame tem a forma de uma curva C e se fx y z é a densidade de massa linear em x y z então o valor desta integral é a massa total do arame Além das integrais curvilíneas em relação a x e y uma função de três variáveis ainda tem a integral curvilínea em relação a z Tal como em 2D tais integrais se expressam em forma de soma C M x y z dx N x y z dy P x y z dz em toda uma região tridimensional contendo C 21 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 36 Do bloco logos da seção 35 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos imersos no MPGT GERADOR DE TAREFAS 9 GT9 Considerar a curva C de equação dada por x2y21 e a função fxyxy2 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever a curva C na língua materna t2 Fornecer uma parametrização da curva C descrita na realização da T1 t3 Representar a curva C no registro gráfico t4 Calcular a integral curvilínea de f em relação a s ao longo de ¼ do comprimento da curva C Resolução da t1 do GT9 Para realizar essa tarefa cabenos afirmar que x2y21 é a equação da curva C designada circunferência de raio um centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas plano Resolução da t2 do GT9 Para realizar essa tarefa isto é fornecer uma parametrização da curva C descrita na realização da T1 é suficiente lembrarmos que C é uma curva polar Assim podemos utilizar as relações de transformação de coordenadas cartesianas xy para coordenadas polares r de um ponto no plano Ou seja fazendo cos 0 2 sen x r y r Ora conforme descrito na realização da T1 temos que r 1 Logo fazendo cos g e sen h diremos que a curva C admite a seguinte parametrização cos 0 2 sen x g x y h y Resolução da t3 do GT9 Para realizar essa tarefa isto é representar a curva C no registro gráfico devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas plano Em seguida utilizando a técnica de interpretação global traçar a curva C Procedemos desta forma temos o resultado apresentado na Figura 310 Figura 310 Visualização da curva C de equação x2y21 no registro gráfico Resolução da t3 do GT9 Para realizar essa tarefa isto é calcular a integral curvilínea de f em relação a s ao longo de ¼ do comprimento da curva C devemos ter em mente que tal integral é dada teoricamente por 22 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 2 2 b C a f x y ds f g t h t g t h t dt Assim sabendo que fxyxy2 devemos calcular f g t h t Utilizando a parametrização da curva C e fazendo t e dt d temos Além disso de cos g temse que sen g e de sen h temse que cos h Substituindo esses dados na integral e considerando ¼ do comprimento da curva C escolhendo o intervalo para temos 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sen sen cos cos sen d d Fazendo a mudança de variáveis sen u temos que Para 0 0 u Para 1 2 u Além disso cos du d Substituindo esses dados na última integral temos 1 2 2 0 0 cos sen d u du Calculando a primitiva de u2 em relação a u e aplicando a segunda parte do TFC obtemos 1 3 0 3 u Desenvolvendo a aplicação do TFC obtemos F1F0 1 3 Que é o resultado esperado para a integral curvilínea de f em relação a s ao longo de ¼ do comprimento da curva C GERADOR DE TAREFA 10 GT10 Considerar as funções escalares M N e P dadas por M x y z x y z 2 3 N x y z x y z e 2 P x y z x y z bem como os pontos 000 S e 234 T para realizar as seguintes tarefas t1 Representar os pontos S e T no registro gráfico indicando um caminho C que consiste em três segmentos de reta o primeiro paralelo ao eixox o segundo paralelo ao eixoy e o terceiro paralelo ao eixoz t2 Calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz onde C é o caminho indicado na T2 Resolução da t1 do GT10 Para realizar essa tarefa devemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional 2 Identificar os pontos S e T nesse sistema 3 Esboçar os segmentos requeridos que constituem a curva C Utilizando essas técnicas obtemos o resultado apresentado na Figura 311 23 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Figura 311 Visualização da curva C no registro gráfico Fonte Dados dos estudos Resolução da t1 do GT10 Para realizar essa tarefa isto é calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz ao longo da curva C onde M N e P são as funções escalares fornecidas na T10 devemos aplicar as seguintes técnicas 1 Parametrizar inicialmente a curva C parcialmente considerando os três segmentos Assim C é composta por C1 segmento de extremidades 000 e 200 C2 segmento de extremidades 200 e 230 e C3 segmento de extremidades 230 e 234 2 Calcular dx dy e dz a partir das equações paramétricas 3 Substituir convenientemente as expressões de M N e P pelas expressões algébricas das equações paramétricas 4 Estabelecer C Mdx Ndy Pdz em cada segmento indicado na primeira técnica 5 Realizar os cálculos das integrais estabelecidas na aplicação da 4 Aplicando essas técnicas temos Para parametrizar C1 segmento de extremidades 000 e 200 fazemos 0 0 2 0 x t y t z Daí aplicando 2 temos que 0 0 dx dt dy dz Aplicando a técnica 3 temos que para M x y z x y z obtémse 00 M t t 2 3 N x y z x y z obtémse 00 N t t 2 P x y z x y z obtémse 00 2 P t t Para parametrizar C2 segmento de extremidades 200 e 230 fazemos 2 0 3 0 x y t t z Daí aplicando 2 temos que 0 0 dx dy dt dz Aplicando a técnica 3 temos que para M x y z x y z obtémse 2 0 2 M t t 2 3 N x y z x y z obtémse 2 0 2 2 N t t 2 P x y z x y z obtémse 2 0 2 P t t t Para parametrizar C2 segmento de extremidades 230 e 234 fazemos 24 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 2 3 0 4 x y t z t Daí aplicando 2 temos que 0 0 dx dy dz dt Aplicando a técnica 3 temos que para M x y z x y z obtémse 23 2 3 5 M t t t 2 3 N x y z x y z obtémse 23 2 6 3 4 3 N t t t 2 P x y z x y z obtémse 23 4 3 7 P t t t Aplicando a técnica 4 1 2 3 C C C C Mdx Ndy Pdz Mdx Ndy Pdz Mdx Ndy Pdz Mdx Ndy Pdz 2 3 4 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 0 5 0 4 3 0 7 tdt t t t dy t t t t t dt 2 3 4 0 0 0 2 2 7 tdt t dt t dt Calculando a primitiva de cada integrando e aplicando a 2a parte do TFC obtemos 2 4 2 2 3 2 0 0 0 2 7 2 2 t t t t t Desenvolvendo aplicação da 2a parte do TFC obtemos 2 2 2 2 4 6 3 28 2 2 Realizando o devido tratamento numérico obtemos 2 3 20 19 Que é o resultado da integral curvilínea 2 3 2 C x y z dx x y z dy x y z dz ao longo da curva C EXERCÍCIOS PROPOSTO IMERSOS NO MPGT GERADOR DE TAREFAS 11 GT11 Considerar a curva C determinada pelos segmentos de retas de extremidades nos pontos 2 1 a 4 1 e de 4 1 a 4 5 e o campo vetorial dado por 2 i j F x y xy x para realizar as seguintes tarefas t1 Representar a curva C no registro gráfico t2 Calcular a integral dr C C F x y Mdx Ndy GERADOR DE TAREFAS 12 GT12 Considerar as funções escalares M N e P dadas por M x y z x y N x y z y z e 2 P x y z x bem como a função 2 2 2 3 4 f x y z x y z os pontos S111 e T234 para realizar as seguintes tarefas t1 Encontrar um campo vetorial conservativo que tenha o potencial dado por fxyz 25 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 t2 Representar os pontos S e T no registro gráfico indicando um caminho C constituído por um crivo da reta que contem ambos pontos no espaço 3D t3 Calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz onde C é crivo indicado na t2 de T12 GERADOR DE TAREFAS 13 GT13 Considerar as funções escalares M N e P dadas por M x y z xz N x y z y z e P x y z x bem como a curva C que admite a parametrização dada por t x e t y e e 2t z e com 0 1 t para realizar as seguintes tarefas t1 Representar as extremidades da curva C no registro gráfico com um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional t2 Calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz ao longo da curva C GERADOR DE TAREFA 14 GT14 Considerar as funções escalares M N e P dadas por M x y z x y z 2 3 N x y z x y z e 2 P x y z x y z bem como os pontos 000 S e 234 T para realizar as seguintes tarefas t1 Representar os pontos S e T no registro gráfico indicando um caminho C constituído por um crivo da reta que contem ambos pontos no espaço 3D t2 Representar os pontos S e T no registro gráfico indicando um caminho C que consiste em três segmentos de reta o primeiro paralelo ao eixoz o segundo paralelo ao eixox e o terceiro paralelo ao eixoy t3 Calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz onde C é o crivo indicado na t1 t4 Calcular a integral curvilínea C Mdx Ndy Pdz onde C é o caminho indicado na t2 Passamos ao estudo de integrais curvilíneas que se referem ao trabalho aplicado a um campo vetorial ao logo de uma curva C 37 Trabalho Uma das mais importantes aplicações físicas das integrais curvilíneas envolve campos de força Assim se uma força F vetorial atua sobre um ponto xyz do espaço tridimensional pertencente a uma curva C temos a seguinte definição Definição de trabalho 311 O trabalho W realizado por um campo vetorial F ao longo de uma curva C é calculado por C W M x y z dx N x y z dy P x y z dz Em algumas aplicações a integral do trabalho é geralmente expressa na forma vetorial Ora já vimos que se Qxyz é um ponto qualquer do espaço então o vetor posição de Q é dado por 26 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 i j k r x y z Assim temse que i j k dr dx dy dz Se um campo vetorial F é dado por i j k F x y z M x y z N x y z P x y z Então podemos calcular o produto escalar de F e r ou seja F x y z dr M x y z dx N x y z dy P x y z dz Seja C a curva descrita pela extremidade do vetor posição r Aplicando a integral curvilínea em cada membro da última equação acima ao longo da curva C obtemos C C F x y z dr M x y z dx N x y z dy P x y z dz Logo C W F x y z dr Omitindo as coordenadas do ponto de aplicação de F podemos escrever C W F dr Definição 312 Seja C uma curva suave do espaço tridimensional T um vetor tangente unitário a C no ponto xyz e F a força que atua no ponto xyz O trabalho W realizado por F ao longo da curva C é calculado por C C W F T dr F dr onde i j k r x y z é o vetor posição de xyz 38 Do bloco logos da seção 37 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos GERADOR DE TAREFAS 15 GT15 Considerar a curva C denominada cúbica reversa de equações paramétricas dadas xt yt2 e zt3 e assim como a força F em um ponto xyz dada por i j k F x y z y z x ara realizar as seguintes tarefas t1 Representar a curva C no registro gráfico t2 Calcular o trabalho realizado por F ao longo da curva C de 000 a 248 Fonte Dados de estudo Resolução da t1 do GT15 Para realizar essa tarefa devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional Em seguida aplicar a técnica de interpretação global Isso significa que devemos mobilizar a configuração geométrica do objeto que se pretende representar no registro gráfico Pela tarefa em questão se trata de uma cúbica reversa que é uma curva obtida pela interseção das superfícies de equações dadas por yx2 e zx3 Para favorecer uma melhor visualização das superfícies e da curva cúbica reversa podemos utilizar convenientemente o ambiente computacional como o GeoGebra obtendo assim o resultado apresentado na Figura 312 27 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Figura 312 Visualização da cúbica reversa no registro gráfico a Parametrização b A calha e a cúbica c A Cúbica Reversa Resolução da t2 do GT15 Para realizar essa tarefa devemos aplicar a definição de trabalho ou seja C W F dr Sabendo que i j k F x y z y z x e i j k dr dx dy dz temos c ydx zdy xdz De xt yt2 e zt3 temse dxdt dy2tdt e dz3t2dt Substituindo na integral e sabendo que para xyz variar de 000 a 248 o parâmetro t deve varia de 0 a 2 temos 2 2 3 2 0 2 3 t dt t tdt t t dt Reorganizando o integrando obtemos 2 2 4 3 0 2 3 t t t dt Calculando a primitiva do integrando em relação a t e aplicando a segunda parte do TFC obtemos 2 3 5 4 0 2 3 3 5 4 t t t Desenvolvendo a aplicação do TFC obtemos G2G0 3 5 4 2 2 2 3 2 3 5 4 Desenvolvendo as potências e a multiplicação de parcelas no numerador de cada fração obtemos 8 64 48 3 5 4 Determinando o mínimo múltiplo comum de 3 5 e 1 considerando assim 48412 obtemos 40 192 180 412 15 15 Que é o valor do trabalho realizado por F ao longo da curva C EXERCÍCIOS PROPOSTO IMERSOS NO MPGT GERADOR DE TAREFA 16 GT16 Considerar a curva C de equação dada por yx3 e o campo vetorial dado por 2 2 i j F x y x y xy para realizar as seguintes tarefas t1 Representar a curva C no registro gráfico t2 Calcular o trabalho realizado por F ao longo da curva C de 00 a 28 GERADOR DE TAREFA 17 GT17 Considerar a curva C de equação dada por y3x2 e o campo vetorial dado por 2 2 i j F x y y x y para realizar as seguintes tarefas t1 Representar a curva C no registro gráfico t2 Calcular o trabalho realizado por F ao longo da curva C de 00 a 13 A cúbica Reversa A calha de equação yx2 A cúbica de equação zx3 28 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 39 Independência de caminho Devemos entender um caminho no contexto tratado nessa disciplina como uma curva suave ou parcialmente suave que une dois pontos digamos A e B contidos em uma região O objetivo principal nessa seção é estabelecer condições para que uma integral curvilínea seja independente de caminho que une dois pontos sejam do plano ou do espaço tridimensional Isso significa que independentemente da curva parcialmente suave que liga dois pontos contidos em uma região conexa o valor da integral deve ser o mesmo Uma região é dita conexa se dados dois pontos desta região estes podem ser ligados por uma curva suave ou parcialmente suave completamente contida nessa região O teorema seguinte é um dos resultados fundamentais no estudo de independência de caminhos Teorema 33 de Independência de Caminho TIC Se i j F x y M x y N x y é uma função vetorial contínua em uma região conexa aberta D então a integral curvilínea C F dr é independente do caminho se e somente se F é conservativo isto é F x y f x y para alguma função escalar f Demo De um lado a hipótese temos que F é independente de caminho em D Por outro lado a tese afirmase que F é conservativo Hipótese Tese Assim da hipótese consideramos um ponto fixo xoyo na região D e definirmos a função escalar f por o o x y x y f x y F dr x y D Da tese devemos mostra com base na hipótese que F é conservativo ou seja F x y f x y Ora a integral curvilínea é independente de caminho portanto a função f depende exclusivamente de x e y e não do caminho que une os pontos xoyo e xy Consideramos um círculo D centrado em um ponto qualquer x y contendo o ponto x1y de sorte que 1 x x Assim conforme mostrado na Figura 313 C1 é o caminho que une xoyo e x1y Figura 313 Visualização do caminho parcialmente suave unindo os pontos xoyo e xy C2 é o segmento horizontal que une os pontos x1 y e xy Assim temse 1 2 C C f x y F dr F dr 1 1 o o x y x y x y x y F dr F dr 29 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Aplicando a derivada parcial em relação a x a cada membro e sabendo que a primeira integral independe de x obtemos 1 0 x y x y f x y F dr x x Eq1 Sabendo que F dr M x y dx N x y dy e lembrando que em C2 dy0 pois y é constante nesse caminho temos F dr M x y dx em C2 Substituindo na Eq1 obtemos 1 x y x y f x y M x y dx x x Sendo y constante nessa diferenciação parcial podemos encarar o integrando como uma função de uma variável x Assim temse que f x y M x y x Em seguida se de forma análoga considerarmos caminho que une os pontos x0yo e xy conforme mostrado na Figura 314 Figura 314 Visualização do caminho parcialmente suave unindo os pontos xoyo e xy temos que f x y N x y y Podese portanto concluir que o gradiente de f é i j i j f x y f x y f x y M x y N x y F x y x y como queríamos demonstrar cqd Reciprocamente partindo da tese isto é existe uma função escalar tal que F x y f x y então podemos escrever x y M x y f x y N x y f x y Assim se conforme mostrado na Figura 315 Ax1y1 e Bx2 y2 são pontos da região D e 30 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 Figura 315 Visualização do caminho parcialmente suave unindo os pontos xoyo e xy se C é uma curva qualquer parcialmente suave de extremidades A e B então C C x y C Fdr M x y dx N x y dy f x y dx f x y dy Se a curva C admite a parametrização suave dada por 1 2 x g t t t t y h t Temos 2 1 t x y C t Fdr f g t h t g t f g t h t h t dt Aplicando a regra da cadeia e a segunda parte do TFC temos 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 t C t x y x y d Fdr f g t h t dt dt f g t h t f g t h t f x y f x y f x y Assim a integral curvilínea depende somente das coordenadas de A e B e não do caminho C Ou seja C Fdr é independente do caminho cqd Antes de passarmos para o bloco práxis convém enunciar o seguinte teorema que traz um resultado útil nas aplicações Teorema 34 Se i j F x y M x y N x y é uma função vetorial contínua em uma região conexa aberta D e seja C uma curva parcialmente suave em D com extremidades Ax1y1 e Bx2 y2 Se F x y f x y então 2 2 1 1 2 2 1 1 x y C x y x y x y M x y dx N x y dy F dr f x y 310 Do bloco logos da seção 39 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos 31 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 GERADOR DE TAREFAS 18 GT18 Considerar as funções escalares M e N dadas por 2 M 3 2 x y x y e 3 3 N 4 x y x y para realizar as seguintes tarefas t1 Mostrar que a integral curvilínea C F dr é independente do caminho C que une os pontos 01 e 32 onde F é o campo de componentes M e N fornecidos no GT18 t2 Calcular o valor da integral C F dr ao longo da curva C considerada na t1 do GT18 Resolução da t1 do GT18 Para realizar essa tarefa isto é mostrar que a integral curvilínea é independente do caminho C deve se utilizar o TIC aplicando as seguintes técnicas 1 Estabelecer a relação do gradiente da função escalar f com o campo vetorial F isto é eq1 eq2 x y f x y M x y f x y F x y f x y N x y 2 Escolher eq1 ou eq2 e aplicar a integral parcial em relação a x ou y respectivamente a cada membro da equação escolhida considerando uma função ky ou kx respectivamente constante de integração 3 Diferenciar o resultado obtido na aplicação de 2 4 Comparar o resultado obtido na aplicação de 3 com eq2 ou eq1 respectivamente obtendo assim a expressão ky ou kx 5 Integrar ky ou kx em relação a y ou x obtendo a função ky ou kx respectivamente 6 Substituir a função ky ou kx convenientemente na expressão da função f na qual foi criada Aplicando essas técnicas então da 1 temos que 2 3 3 3 2 eq1 4 eq2 x y f x y x y f x y x y Da 2 Digamos que eq1 é escolhida Assim temos 2 2 3 2 3 2 xf x y dx x y dx f x y x y dx Calculando a primitiva indefinida do integrando utilizando ky como constante de integração obtémse Aplicando a 3 obtemos Aplicando a 4 obtemos Realizando o devido tratamento algébrico obtemos Aplicando a 5 obtemos Aplicando a 6 obtemos Que é a função procurada que satisfaz a relação f x y F x y Resolução da t2 do GT18 Para realizar essa tarefa isto é calcular o valor da integral C F dr ao longo da curva C é suficiente 32 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 aplicarmos o teorema 34 Ou seja reescrever essa integral como segue 3 2 2 3 3 0 1 3 2 4 C x y dx x y dy F dr Utilizando o resultado obtido na realização da t1 obtemos Desenvolvendo a aplicação do Teorema F de Cálculo temos Realizando o devido tratamento numérico obtemos 75 Que é o resultado da 3 2 0 1 F dr EXERCÍCIOS PROPOSTO IMERSOS NO MPGT GERADOR DE TAREFAS 19 GT19 Considerar as funções escalares M e N dadas por 2 3 M 2 4 y x y xe y e 2 2 2 N 2 12 y x y x e xy para realizar as seguintes tarefas t1 Mostrar que a integral curvilínea r C F d é independente do caminho C que une os pontos 10 e 212 em que F é o campo de componentes M e N fornecidos no GT19 t2 Calcular o valor da integral r C F d ao longo da curva C considerada na t1 do T20 GERADOR DE TAREFAS 20 GT20 Considerar as funções escalares M e N dadas por 3 3 2 M 5 4 sec x y y y x e 2 2 N 15 12 tg x y xy y x para realizar as seguintes tarefas t1 Mostrar que a integral curvilínea r C F d é independente do caminho C que une os pontos 11 e 21 onde F é o campo de componentes M e N fornecidos no GT20 t2 Calcular o valor da integral r C F d ao longo da curva C considerada na T1 do GT20 GERADOR DE TAREFAS 19 GT21 Considerar as funções escalares M N e P dadas por 3 2 M 6 2 x y z xy z 2 N 3 x y z xy e P 4 1 x y z xz para realizar as seguintes tarefas t1 Mostrar que a integral curvilínea r C F d é independente do caminho C que une os pontos 102 e 213 onde F é o campo de componentes M N e P fornecidos no GT21 t2 Calcular o valor da integral r C F d ao longo da curva C considerada na t1 do GT21 33 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 GERADOR DE TAREFAS 20 GT22 Considerar as funções escalares M N e P dadas por M 2 sen x y z x z e N 2 sen x y z y z e 2 2 P cos x y z x z y para realizar as seguintes tarefas t1 Mostrar que a integral curvilínea r C F d é independente do caminho C que une os pontos 000 e onde F é o campo de componentes M e N fornecidos no GT22 t2 Calcular o valor da integral r C F d ao longo da curva C considerada na t1 do GT22 Não é o fim é apenas um novo começo 34 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 3 Campos Vetoriais UESC 2021 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÁVILA Geraldo Cálculo 3 Funções de Várias Variáveis Rio De Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora 1983 CHEVALLARD Y 1992 Concepts fondamentaux de la didactique perspectives apportées par une approche anthropologique Recherches en Didactique des Mathématiques V 12 n1 p 73112 DUVAL R 1993 Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée Annales de didactique et de sciences cognitives IREM de Strasbourg v 5 p 3565 LEITHOLD Louis O Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Harbra Vol 2 HENRIQUES A Lenseignement et lapprentissage des intégrales multiples analyse didactique intégrant lusage du logiciel Maple UJFGrenoble Lab Leibniz 2006 HENRIQUES A Saberes Universitários e as suas relações na Educação Básica Uma análise institucional em torno do Cálculo Diferencial e Integral e das Geometrias Via Litterarum Editora 2019 MUNEM Mustafa A E Foulis David J Cálculo Rio de Janeiro Guanabara 2 Vol1 e 2 SPEIGEL MR Cálculo Avançado Resumo Da Teoria São Paulo McgrawHill do Brasil 1972 SWOKOWSKI E W Cálculo com geometria analítica Tradução Alfredo Alves de Faria 2a ed Makron Books Vol 2 São Paulo Brasil 1994 THOMAS JÚNIOR George B E Finney ROSS L Cálculo e Geometria Analítica Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Ltda Vols 1 2 e 3 THOMAS JÚNIOR George B Cálculo Rio De Janeiro Livros Técnicos e Científicos Ltda Vols 1 a 3 VEJA AS CAPAS DE ALGUMAS DESSAS REFERÊNCIAS DE LIVROS PARA CONSULTA TENHA UM BOM ESTUDO