Capítulo 10: Integração Tripla sobre Paralelepípedos

Capitulo 10 101 Integracgdo Tripla sobre Paralelepipedos Este capitulo é totalmente andlogo ao anterior Sejam R Cc R o paralelepipedo retangular definido por R ab x cd x pqlea funcao limitada w fxy z definida em R Consideremos as seguintes particdes de ordem n dos intervalos ab c d e p q A0 X were eee KIyn O C YO KYL veeeeeeees Yn a P 2 2 eeeee eee eee S Wn Subdividamos R em n subparalelepipedos Rj jx xi 241 x yj j41 X zn Zeta R B fd a a co oh a eet Figura 101 Subdivisao de R ba dc qp Denotemos por Az Ay Az Escolhamos cj Rijk e n n formemos a seguinte soma de Riemann n1 n1 n1 Sn S S Sof cijnAx Ay Az i0 j0 k0 253 254 CAPITULO 10 INTEGRACAO TRIPLA Definicao 101 Se lim S existe e independente da escolha dos ci Rijp e da particao denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos por lim S f teu 2avaya n00 R Em tal caso f é dita integravel sobre R Teorema 101 Se f é continua em R entao f é integrdvel sobre R Para a prova do teorema veja EL No capitulo anterior vimos que se f ab x c dj R fxy 0e continua para todo xy ab x c d a integral dupla I fxy dx dy R representa 0 volume do solido W xy2 R xy ab x cd 0 2 fay Para integrais triplas esta interpretacdo geométrica nao é conveniente pois 0 gra fico de f 6 um subconjunto de R 0 qual nao é possivel visualizar Mas se fxy z 1 para todo xyz R dx dy dz R representa o volume de R veja o exemplo 1 Isto se justifica pois a soma de Rie mann correspondente n1 n1 n1 Sn S S S Aa Ay Az i0 j0 k0 é a soma dos volumes dos n subparalelepipedos formado pela particdo entao lim Sy 6 exatamente o volume de R A integral tripla tem propriedades andlogas as das integrais duplas Proposicao 101 Sejax xyz R 1 Linearidade da integral tripla Se f e g sao funcées integrdveis sobre R entaio para todo a 3 Ra f Bg é integrdvel sobre R e I a fx 8 gx dx dy dz off toodrayae 3 ff oe avay az R R R onde x xy 2 101 INTEGRACAO TRIPLA SOBRE PARALELEPIPEDOS 255 2 Se f eg sto integrdveis sobre Re gx fx para todo x R entao sco avaya I f x dx dy dz R R 3 Se R é subdividido em k paralelepipedos e f é integrdvel sobre cada R i 1k entao f é integrdvel sobre R e k I f x dx dy dz f x dx dy dz R i1 Ri A prova segue diretamente das definicoes A nocao de contetido nulo poder ser estendida ao paralelepipedo R de forma com pletamente andloga ao caso do retangulo mudando subretangulos por subpara lelepipedos e area por volume Como antes 0 teorema é valido se 0 conjunto de descontinuidades de f é de contetdo nulo Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini Agora temos 3 6 possiveis integrais iteradas Teorema 102 Fubini Seja f R R continua em R Entao b d qd teuedcaya Flay de iy dx R a LJe Lp qd d b Flay2 de ay dz p c a d b qd Flay de ae dy c a p b qd d Flas2 dy ae da a 3 c A prova do teorema de Fubini para integrais triplas 6 completamente andloga a das integrais duplas que pode ser vista no apéndice Exemplo 101 1 Calcule I dx dy dz onde R ab x c d x pq R b qd d I dedy dz iy ae dz dcqpba R a p c que é 0 volume de R 2 Calcule I xyz dx dy dz onde R 01 x 12 x 03 R 2 1 3 9 2 1 27 I xyz dx dy dz ryede ae dy eyde dy R 1 Wo Lo 241 Lo 8 256 CAPITULO 10 INTEGRACAO TRIPLA 3 Calcule I sena y z dx dy dz onde R 07 x 07 x 07 R I sen ty 2dedyde f seney 2de ae dy 8 R 0 LJo Lo 4 Calcule I a y 22 xyz dx dy dz onde R 01 x 01 x 01 R lp ply pl eae 2 aye dedy dz Pa P42 ayede as dy R 0 LJo Lo lp pl 11 ar y byt yewae dy 12 y 2 9 Gtatyiwes 102 Integrais Triplas sobre Regides mais Gerais 1021 721 Regides Elementares no Espaco De forma andloga ao estudado no capitulo das integrais duplas definidas em re gides mais gerais Consideremos W Cc R Regides de tipo I A regido W é do tipo I se pode ser descrita por W 2y z Rxy D fizy S28 foxy onde D éa regido elementar do plano projegdo de W no plano xye fi fo D R continuas sendo f fo yt Zz 5 WwW I 1 ik zf Figura 102 Regido de tipo I 102 INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 257 Regiões de tipo II W é do tipo II se pode ser descrita por W x y z R3x z D g1x z y g2x z onde D é a região elementar do plano projeção de W no plano xz e g1 g2 D R contínuas sendo g1 g2 W yg yg 2 1 D Figura 103 Região de tipo II Regiões de tipo III W é do tipo III se pode ser descrita por W x y z R3y z D h1y z x h2y z onde D é a região elementar do plano projeção de W no plano yz e h1 h2 D R contínuas sendo h1 h2 W D xh xh 1 2 Figura 104 Região de tipo III A região W é de tipo IV se é do tipo I ou tipo II ou tipo III como por exemplo região limitada por uma esfera ou por um elipsóide 258 CAPITULO 10 INTEGRACAO TRIPLA Em qualquer dos casos anteriores W é chamada regiao elementar do espaco As regides W sao conjuntos fechados e limitados em R Alguns exemplos de regides elementares Figura 105 Regides elementares Figura 106 Regiao elementar 103 Extensdo da Integral Tripla Seja W uma regiao elementar em R tal que W C R Rum paralelepipedo como antes Se f W Ré uma fungao continua definamos f R R por fxy2 se ayz W fxy 2 0 se xyz E RW Se OW tem contetido nulo entao f é integravel sobre R e definimos a integral tripla de f sobre W como II fxy z dx dy dz te uaaeaya Ww R Em tal caso dizemos que f é integravel sobre W A integral nao depende da escolha do paralelepipedo R Proposigo 102 Seja f W CR R continua 103 EXTENSAO DA INTEGRAL TRIPLA 259 1 Se W é do tipo I foxy teu2aeayaz Fey de dr dy w D fixy 2 Se W é do tipo II g2xz II fley2dedy dz f Flas2 dy dx dz Ww D J gi2z 3 Se W é do tipo III hayz II Fley2dedy dz Flas de dy dz Ww DJhiyz Observe que em todos os casos anteriores D é uma regiao elementar do plano e portanto pode ser do tipo I II ou II dependendo do tipo continuamos com a integral dupla Volume Em particular se fxy z 1 para todo x y z W entao II dx dydz VW Ww onde VW é0 volume de W Exemplo 102 2 42 x 2 1 Calcule I sen2z dy dz dx 0 JO 0 42 sen2 z Note que I dy dz dx onde D 0 42z D220420242 Figura 107 260 CAPITULO 10 INTEGRACAO TRIPLA 2 2 Calculamos primeiro sent dy zsen2s a seguir precisamos calcular 0 2z 2z 2 x sen2 z dz de D 42z onde consideramos D xz0 a 420 z 4 como uma regiao de tipo II logo 4 p fiz 9 4 sin2 1 I x sen2 z ded sin2 z de cos8 0 0 4z 0 2 4 2 Calcule 0 volume do sélido limitado por z 27 9zy4yNey4 O s6lido é limitado superiormente por z 9 x e inferiormente por z 4 y O solido W é do tipo I N Z ll p is iy Figura 108 Sdlido do exemplo 2 W ayz Ry D 4y 2 927 Determinagao de D A regido D é a projecao de W no plano xy para determinar D basta eliminarmos z das equac6es ou equivalentemente achar a intersecdo de ambas as superficies z 92 z 4y obtemos x y 5eD 2y R Jy 5 x Vy t50y 4 Figura 109 A regiao D 104 EXERCICIOS 261 4 JSyt5 9a Logo VW JI dz dy dz ae as dy entao Ww 0 VJyt5 LY 4y 4 Vyto 4 73 Vy5 vw f 62 y ae ay ff 65 20 dy 0 LJ vets 0 3 Sets 5 y 5dy Bure 648 405 we 5 3 3 Calcule x dx dy dz onde W é limitado por z x y z 2 no primeiro octante v Se considerarmos W como regiao de tipo II W é definida por 0 y Vz22eD a projecdo de W no plano xz fazendo y 0 obtemos a pardbola z x e z 2 logo D é definida por0 a ze02z2 Z 1 ee 1 Figura 1010 O sdlido e a regiao do exemplo 2 2 Vz Vz22 JI vdedyd ody de de w 0 Lo 0 27 pv2 oz ae dz 0 Lo 1 23 dz sy 15 104 Exercicios 1 Calcule as seguintes integrais 3 p2 pl a a y 2 dx dy dz 0 Jo Jo 262 CAPITULO 10 INTEGRACAO TRIPLA 1 pl pl b ay 27 dx dy dz 1 J1 J1 1 x xy c x dz dy dx 0 Jo Jo 4 wT 12 d a seny dz dx dy 0 Jo Jo 5 fv pa e seny dz dx dy 0 Jo Jo 1 x y f x 24 dz dy dx 2 Jo Jo 2 Considere o sdlido limitado por x y z 3xy z 1e0s planos coordenados Calcule o volume do sélido fazendo w f fle Lf falee ffalele a flffeel 3 Calcule x dx dy dz se W 0 paralelepipedo limitado pelos planos 2y3e2 a 4 Calcule 2 dx dy dz se W 0 solido limitado pelo cilindro 77 y 1le Ww pelos planos z 0e z 4 5 Calcule ardyde se W 0 solido limitado pelo plano w etyt2418 x yz1e pelos planos coordenados 6 Calcule a3 y 23 dx dy dz se W 0 sélido limitado pela esfera Ww 2 a ya za a 7 Calcule za y dx dy dz se W 0 solido limitado pelo cilindro x Ww y 22 e0s planos y 02 Neza 8 Determine o volume do solido limitado pelos planos 4y 2x z 82 0 yO0ez0 9 Determine o volume do sdlido limitado por z 9 xz5yy0e yod Capítulo 11 MUDANÇA DE COORDENADAS 111 Introdução Sejam W uma região elementar no espaço e x y e z as seguintes funções x y z W R onde x xu v w y yu v w e z zu v w são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que W R Estas três funções determinam uma transformação do espaço uvw no espaço xyz De fato T W R3 onde Tu v w xu v w yu v w zu v w A transformação T é também denotada por x xu v w y yu v w z zu v w u v w W Denotemos a imagem de W por T como W TW contida no espaço xyz Definição 111 1 T é injetiva em W se Tu1 v1 w1 Tu2 v2 w2 para todos u1 v1 w1 u2 v2 w2 W implica em u1 u2 v1 v2 e w1 w2 2 O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por x y z u v w det x u x v x w y u y v y w z u z v z w onde as derivadas parciais são calculadas no ponto u v w W 263 264 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS Teorema 111 Sejam W e W regides elementares no espaco T uma transformagao de classe C e injetiva em W Suponha que TW W Entao para toda funcao integrdvel f sobre W temos 0 sen dx dy dz ff foe Fo du dv dw onde fuvw fxuvw yu v w zuv w e O 9 2 é 0 valor absoluto do 9 9 Yy 9 9 9 Ou v w determinante Jacobiano Novamente é possivel mostrar que o teorema anterior é ainda valido se T nao é injetiva num subconjunto de W que seja de contetido nulo 112 Coordenadas Cilindricas Se P xy z um ponto no espaco xyz suas coordenadas cilindricas sao r 6 z onde r sdo as coordenadas polares da projecdo de P no plano xy e sao definidas por x rcos6 y rsen9 Z ou explicitamante r x y z ze y arctg se xy 0 O6ar arctg se 0 2a arctg 4 se x0y 0 7 37 Se x 0 entéo 0 3 quando y 0ed quando y 0Sex y 06 nado é definido ee Figura 111 Coordenadas cilindricas 112 COORDENADAS CILINDRICAS 265 Esta transformacao é injetiva no seguinte subconjunto r9zr 0 09 8 09 27 z 0o 00 e o jacobiano da transformacao é Ox y 2 rf Or 9 z Exemplo 111 1 O cilindro circular reto C de raio a é dado por C 2y2 R8ay a z 00 00 Em coordenadas cilindricas x y r logo r a entao C r6z Rr a 0 6 27 z co 00 2 O cone com base num disco D de raio 15 centrado na origem e altura 3 Em coordenadas cilindricas 3 Z 2 OST5 0027 logo o cone em coordenadas cilindricas 3 3 S r0z ER OSrs50Ss2702 3 3 a i IN la Figura 112 O cone do exemplo 2 Do teorema anterior Corolario 112 Seja fr0z fr cosr sen z entio II fxy z dx dy dz JI r fr 0 z dr dz do Ww w 266 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS Esta igualdade ainda é vdlida se W r0zr 0 09 0 0 27 z 00 00 Em particular se f xyz 1 para todo xy z W entao VW II r dz dr dé w Exemplo 112 1 Determine 0 volume do solido limitado por x y az 0Nezba 0 O sélido W é um cilindro centrado na origem de raio a e altura z onde 0 z b Usando coordenadas cilindricas obtemos a nova regiao W definida por W 70z0ra002702 bd b 20 a vr ff rdzdrao rar io dz na7buv w 0 Lo 0 2 Calcule I x dx dy dz onde W é limitado porz 0y0z 4ez xy w O sélido W é definido por xy z 4 Usando coordenadas cilindricas obtemos anova regiao W definida por W r02r 2 4 05 r200 4 D éa projecao do paraboldide no plano xy no primeiro quadrante 2 x 1 2 Figura 113 O sdlido e a regiao do exemplo 2 respectivamente Er p2r pd JI x dx dy dz T r cos0 dz dr d0 rcos0de ar dé Ww w 0 0 r2 64 15 112 COORDENADAS CILINDRICAS 267 3 Calcule Vx y dx dy dz onde W é 0 solido limitado por x y 1 w z 12 y abaixo do plano z 4 7 alll a en A mai Be a nt ly LL a Figura 114 Vistas do sdlido do exemplo 3 W é determinado por 1 x y z 4 A projecdo no plano zy é limitada por ety i Figura 115 A regiao D Usando coordenadas cilindricas obtemos a nova regiao W determinada por W r02191 240r100 27 logo 20 1 4 II VP P dvdyde rae ar dg 27 Ww 0 0 1r 5 4 Se W é limitado por z 8 2 yez 2 y calcule II z dx dy dz w 268 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS Figura 116 O sélido do exemplo 4 W é determinado por a y z 82y A projecao no plano zy é limitada por x y 4 Usando coordenadas cilindricas obtemos a nova regiao W determinada por W 702rz2 V8170r206 27 logo 2p p2ep pVB1 II edvdyde redz do dr 8 WwW 0 0 r 5 Determine 0 volume do solido limitado por uma esfera de raio a Pela simetria do sélido calculamos 0 volume da calota superior da esfera e multi plicamos o resultado por 2 O sdélido é definido por 0 z a 2 y Usando coordenadas cilindricas temos que 0 novo sélido é definido por W 70202 Vae1r0ra00 27 logo a Q0r Vatr2 4 vw 2 dirdy dz 2 re io dr rauv Ww 0 LJo Wo 3 6 Determine 0 volume do solido limitado por zVl1l2y e z241 V2 47 112 COORDENADAS CILINDRICAS 269 Figura 117 O sdlido do exemplo 6 W é definido por a y2 1 z V12y Usando coordenadas cilin dricas temos que 0 novo solido é definido por r 1 z Vlr0rle 0 0 27 logo Lp p2ep pV1r2 vw fff drdy dz 2 re ao dr Tuv Ww 0 0 r1 7 Determine 0 volume do sélido limitado por z 92 yez12y Figura 118 O sdlido do exemplo 7 W é definido por 1 27 y z 92 y Usando coordenadas cilindricas temos que o novo sélido é definido por 1r z9r0r2e06 27 logo Qn p2p p9r vw fff dirdy dz rae ar dd 16 7uv Ww 0 0 LJ14r2 270 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS 113 Coordenadas Esféricas Seja P xy z um ponto no espaco xyz Suas coordenadas esféricas sao p 9 onde p é a distancia do ponto P a origem 6 é 0 4angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga 000 a a y0 e 0 4ngulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P a origem x psen cos y psen sen8 z pcosd onde p a y4 22 00027e0 70 que define uma regiao no espaco pO a TN Figura 119 Coordenadas esféricas O jacobiano da transformacao é x Yu z 2 sen ap00 nl Exemplo 113 1 Em coordenadas esféricas uma esfera de raio a centrada na origem é S p60 Rp 40 6 70 0 27 2 Os cones circulares com eixos coincidentes com o eixo dos z sao caracterizados por S p60 Rp 0 00 6 co 0 0 2h onde cy R Casos particulares Seco 0e 0 S representa 0 semieixo positivo dos z Seco 7e 75S representa 0 semieixo negativo dos z 113 COORDENADAS ESFERICAS 271 T T Se co 3 o 2 S representa o plano zy Se0 e cp 0 cone abrepara cima Se co 7ec0 cone abrepara baixo 3 O sélido limitado por 27y22 leay2 4emcoordenadas esféricas é dado por W p0 Rp 12 0700 2m ee 4 Figura 1110 Sdlido do exemplo 3 Do teorema anterior Corolario 113 Seja fp0 fpcossen psensen pcos entao teuacayaz ff psend 1086 ddd do Ww we Esta igualdade ainda é valida se W 06p 0000 0 5 2705 7 Em particular se f xyz 1 para todo xy z W entio VW T psen dp dé dd w Exemplo 114 1 Calcule 0 volume do sélido limitado por uma esfera de raio a centrada na ori gem a T 20 II dx dy dz psen io io dp Ww 0 LJo LJo 2n psen io dp 0 Lo 2 3 74 sen dr 3 0 4 eu 3 272 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS 2 Se W 0 sdlido limitado por x y 2 1 calcule II eV tyr 228 dep dy dz Ww Usando coordenadas esféricas temos 0 p 10927e0 7 que define uma regido no espaco p0 Por outro lado eV 2 27 er 2 22 3 1 wT 27 2 3 II ele ty 2 dedy dz pe seno a as dp Ww 0 LJo Lo 1 T 2n pe sen io dp 0 Lo 1 an pre dp 0 4 gle 1 3 Se W é 0 sodlido limitado inferiormente por z x y e superiormente por 1 1 2 2 2y2 a l l ety z 5 7 calcule II Vu y 22dax dy dz Ww 0 Se 7 Ua NY 0 Figura 1111 Sdlido do exemplo 3 22 ly 1 A esfera x y z 3 em coordenadas esféricas tem como equacao p cos eo cone T Q 4 114 EXERCICIOS 273 logo 0 p cos0o Te00 2m cos Qr II VEEP Pac dy de p sen0 a dd Ww 0 Lo 0 5 cos 2n p sen iy do 0 Lo costo send dd 0 T v2 3 4 Calcule el 2 de dy dz onde W é0 solido limitado pela esfera cen Ww xy trada na origem de raio 4 e os cones z 3a2 ye z z 4 Ny i a Bal 0 Zé 0 4 Figura 1112 Sdlido do exemplo 4 Usando coordenadas esféricas a equacao da esfera x y 27 166 p 4eas v2 a2 dos cones z 3x2 yez ee sdo d ed respectivamente logo a regiao no espaco p é definida por 0 p 40027e o 2424 23 on 3 4 2p JI elt ty 2 dedydz pre seno dp io dé Ww 0 z Jo 5 v3 1e 9 114 Exercicios 1 Faca a mudanga de variavel necessaria para calcular as seguintes integrais 274 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS 2 pVia pd a x dz dy dz 2 JV422 Jr y 2 pVia py 16 0 y b Va y dz dy dz 0 Jo 0 1 pVIa pl y12y c xdz dy dx 1 JVia J1 1 pVI py1 2 y d V x2 y 2 dz dy dz 0 Jo 0 2 Calcule x dx dy dz onde W 0 solido limitado pelos planos x 0 y 0 Ww z 2e pelo paraboldide z x y 3 Calcule x dx dy dz onde W o sdlido limitado pelo paraboldide Ww 42 4y e pelo plano x 4 4 Calcule 6a y dx dy dz onde W esta acima da regiao plana limitada pelas Ww curvas y z y 0 1leabaixo do plano z12y 5 Calcule xy dx dy dz onde W 0 tetraedro de vértices 000 100 w 0 20 e 0 03 6 Determine o volume a do sdlido limitado pelo cilindro x y e pelos planos z 0exz1 b do sdlido limitado pelo cilindro y cosx e pelos planos z y 0 r Fez0 7 O valor médio de uma fungdo w fxy z sobre a regiao W é definido por Vy i dx dy d M TOW W xyz dx dy dz Determine o valor médio da fungao fxy z xy z sobre 0 cubo com lados de comprimento L que esta no primeiro octante com um vértice na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados 114 EXERCICIOS 275 Calcule usando coordenadas cilindricas 8 Vx y dx dy dz onde W éa regiao contida dentro do cilindro Ww x y 16 eentre os planos z 5ez4 9 II x y dz dy dz onde W éo cone z2 y2 z 1 Ww 10 II 1 V2 y dx dy dz onde Ww W ay2z CR V2 y2 2 1 Calcule usando coordenadas esféricas 11 V2 y 22 dx dy dz onde W 0 sélido limitado por abaixo pelo Ww cone p e acima pela esfera p 2 12 II x y 27 dx dy dz onde W 2yz Ray4 27 1 Ww dx dy d 13 a onde W é0 solido limitado pelas esferas Ww x y 2 rtyte2raeeaty2 ad dx dy d 14 onde W é0 solido limitado pelas superficies Ww z 2 PEP Vln Pa per Via Pep 15 II Va y 22 dx dy dz onde Ww W 2y2 ER ar ty 27 221 2 16 Calcule 0 volume do soélido limitado a Por z 42 y e pelo plano zy b Porz2 y ea y4 22 2 c Por z 2 9yez18279y d Por z 227 2yez48 2 4 276 CAPITULO 11 MUDANCA DE COORDENADAS ay y 17 Calcule JI Ee BP dx dy dz onde a b c 0 e o sélido definido por v a y2 2 18 Calcule xy zdx dy dz onde W é formado pelo primeiro octante do elip Ww sdide do exercicio anterior x y z 0 19 Utilizando coordenadas cilindricas calcule a a y 23 dx dy dz onde W 0 solido limitado pelo cilindro Ww x z7 1e pelos planos y Ney 1 b I a y dx dy dz onde W 0 solido limitado por 2z x y e Zoo c I dx dy dz onde W 0 sélido limitado por x y 27 2Rz Ww x y 2 e que contem o ponto 00 R 20 Utilizando coordenadas esféricas calcule a I a y dx dy dzondeW xyz Ra4y2 az Ww O b I 1 x2 y 2232 dx dy dz onde W xyz Ra2 Ww yet 1 c I Va y 22 dx dy dz onde W 2yz Ray2227 Ww d I adzx dy dz onde W xyz Ra2y2 22 12 0 Ww 21 Calcule o volume do sélido limitado a pelo cilindro 2 4y 4e pelos planos z 0zx2 b pelo paraboldide z x y e pelo plano z x c pelos paraboldides z 92 yez1892y d pelas superficies z x2 y2ez27y e pela superficie z 442 y eo plano xy 114 EXERCICIOS 277 f pelos cilindros x 2 1ley 27 1 g pelos planos z 0 y 0 z xe pelo cilindro x y 9 22 Se W é um solido nao homogéneo com densidade em cada ponto dada por w fxy za massa de W é definida por My II fxy z dx dy dz Ww As coordenadas do centro de massa do sélido W sao definidas por IT x fxy z dx dy dz IT y fxy 2 dx dy dz ga ew Mwy Mw e IT z fxy z dx dy dz z et Mw a Calcule a massa de W 2yz Ra7y 90 2 9a27y se a densidade é fx y z z b Calcule 0 centro de massa do sélido limitado por 2 ryx 5y5 e z 0 sea densidade é fxy z 1 c Calcule 0 centro de massa do sélido limitado pela esfera x y 2 a e situado acima do plano z 0 sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional 4 distancia do ponto ao centro da esfera d Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa dada por f Ce R onde C 0 R 0 raio da estrela e p a distancia do ponto ao centro da estrela Calcule a massa da estrela 23 Se W é um sodlido nao homogéneo com densidade em cada ponto dada por w fxy z entéo os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados sao definido por t fff 2 Meu2avdyde ty ff 2 Movy2aedy de w Ww e 1 fff 2 0 Hay dedyae Ww Determine 0 momento de inércia de cada sdlido em relacdo ao eixo indicado supondo que a densidade é Kk constante a W 2yz BR a y a0zh emrelacao ao eixo dos x b W 2yz Ra a y b 0 z h em relacdo ao eixo dos z 278 CAPÍTULO 11 MUDANÇA DE COORDENADAS