Álgebra_linear_

1 - a) Solução Seja v : (x, y) ∈ R² (x, y) : x(1,0) + y(0,1) T(x, y) = T(x(1,0) + y(0,1)) T(x, y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x, y) = x(5,1) + y(-1,3) T(x, y) = (5x-y, x+3y) A matriz canônica do operador linear: A: \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} b) solução: N(T) : {(x, y) ∈ R² | T(x, y) = (0,0)} (5x-y, x+3y) = (0,0) 5x-y=0 => y=5x x+3y=0 => x=-3y c) N(T) = (0,0), então T é injetora. 1 - c) Calculando os determinantes: \begin{vmatrix} 5 - λ & -1 \\ 1 & 3 - λ \end{vmatrix} = 0 => (5-λ)(3-λ) - 1.1 = 0 => 15 - 5λ - 3λ + λ² - 1 = 0 16 - 8λ + λ² Δ = 64 - 2.1.16 Δ = 0 λ = \frac{8 \pm 0}{2} = 4 Vetores próprios: \begin{bmatrix} 5 - λ & -1 \\ 1 & 3 - λ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} Para λ = 4 \begin{bmatrix} 5-4 & -1 \\ 1 & 3-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} => \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} x-y=0 => y=x(-1) => y=x V=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = y=x. O vetor próprio associado ao valor próprio λ = 4. 2. a) Solução: Seja V: (x, y) ∈ IR² (x, y) x (1,0) + y(0,1) T(x, y): xT(1,0) + T(y(0,1) T(x,y): xT(1,0) + yT(0,1) T(x,y): xT(1,1) + y(0,1) T(x,y): x(1,1) + y(3,5) T(x,y): (x,-x) + (3x,5y) T(x,y) = (x + 3y, -x + 5y) b) Solução: N(T) : {(x,y) ∈ IR² T(x,y) = (0,0)} (x + 3y, -x + 5y) = (0,0) {x + 3y = 0 x + 5y = 0 -(-3) + 5y = 0 x + 3y = 0 -x + 5y = 0 N(T): (0,0). então T: é injetora. c) cálculo dos valores próprios, calculando o determinante: |[-λ 3] |[-1 5-λ]| = 0 (-λ) (5-λ) - 3(-1) = 0 => 5 - λ - 5λ + λ² + 3 = 0 => 8 - 6λ + λ² Δ = (-6)² - 4.8 Δ = 4 λ₁ = 6 ± √(Δ) /2 6 + 2 λ₁: 6 ± 2/2 = 4 λ₂: 6 - 2/2 9 = 2 Cálculo do vetor próprio: [-λ 3][x] [0] [-1 5-λ][y] = [0] Para λ₁ = 4 [-1 - λ₁ = -1][x] [-1 5-λ₁](y) = [0] => [3 - 3(x) + y] -3x + 3y = 0 => 3y = 3x => y = x O vetor próprio associado ao valor próprio λ₁ = 4 V: (x,y) = (x)(x,1,1) c) Calculo do vetor próprio para λ₂ = 2: [- λ 3][x] [0] = [3 3][x] [0] [-1 5-λ][y] = [0] = [-1 -3][y] = [0] -x + 3y = 0 => x = 3y O vetor próprio associado ao valor próprio λ₂ = 2 V: (x,y) = (3y,y) y(3,1)