Álgebra_linear_

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO: MATEMÁTICA LICENCIATURA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR POLO: PINHEIRO PROFESSOR: CÉSAR EQUIPE: João Paulo Ramos Andrade TERCEIRA AVALIAÇÃO 1) Um operador linear T : R² → R² , tal que T(1,0) = (5,1) e T(0,1) = (-1,3). a) Determinar T(x,y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 2) Um operador linear T : R² → R² , tal que T(1,0) = (1,-1) e T(0,1) = (3,5). a) Determinar T(x,y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 1- a) Solução Seja V : (x,y) ∈ R² (x,y) = x(1,0) + y(0,1) T(x,y) = T(x(1,0) + y(0,1)) T(x,y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x,y) = x(5,1) + y(-1,3) T(x,y) = (5x, x) + (-y, 3y) T(x,y) = (5x - y, x + 3y) b) Solução: N(T) = {(x,y) ∈ R² | T(x,y) = (0,0)} (5x - y, x + 3y) = (0,0) 5x - y = 0 => y = 5x x + 3y = 0 => x = -3y N(T) = (0,0), então T é injetora. A Matriz canônica do operador linear: A: [5 -1 1 3] 1 - c) Calculando os determinantes: [5 - λ -1 1 3 - λ ] = 0 => (5 - λ)(3 - λ) - 1.1 = 0 => 15 - 5λ - 3λ + λ² - 1 = 0 16 - 8λ + λ² Δ = 64 - 2.1.16 Δ = 0 valores próprios: [5 - λ -1 | x | 0 1 3 - λ | y | 0] Para λ = 4 [5 - 4 -1 | x | 0 1 3 - 4 | y | 0] => [1 -1 | x | 0 1 -1 | y | 0] (x - y = 0 x - y = 0 => y = x(1) => y = x O vetor próprio associado ao valor próprio λ = 4 V = (x,y) : (x,y) : y = x 2. a) Solução: Sja V: (x, y) ∈ ℝ² (x, y) x(1,0) + y(0,1) T(x, y) = T(x(1,0) + T(y(0,1) T(x, y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x, y) = x(1,-1) + y(3,5) T(x, y) = (x - x) + (3y,5y) T(x, y) = (x + 3y, -x + 5y) a matriz canônica de opora [1 3] A = [-1 5] b) Solução: N(T): {(x, y) ∈ ℝ² T(x,y) = (0,0)} (x + 3y, -x + 5y) = (0,0) {x + 3y = 0 -> x = 3y -x + 5y = 0 -(-3)y + 5y = 0 x + 3o = 0 8y = 0 x = 0 (x, y) = (0,0) N(T) = (0,0), então T é injetora. C) Calculo dos valores próprios, calculando o determinante: [1 - λ 3] [-1 5 - λ] = 0 (1 - λ)(5 - λ) - 3(-1) = 0 => 5 - λ - 5λ + λ² + 3 = 0 => 8 - 6λ + λ² Δ = (-6)² - 2.8 Δ = 4 λ = 6 ± √(v 6 + 2 / 2) λ1 = 6 + 2 / 4 = 2 λ2 = 6 - 2 / 2 = 2 Calculo do vetor próprio: [1 - λ 3][x] [0] [-1 5 - λ][y] [0] Para λ1 = 2 [1 - 2 3][x] [0] => [-1 3][x] [0] [-3x + 3y = 0] [-1 5 - 2][y] [0] => [-1 -3][y] [0] [x + (-y) = 0] -3x + 3y = 0 => 3y = 3x => y = x O vetor próprio associado ao valor próprio λ1 = 2 V = (x, y) = (x x) = x(1,1) C) Calculo do vetor próprio para λ2 = 2: [1 - 2 3][x] [0] => [-1 3][x] [0] [-x + 3y = 0] [-1 5 - 2][y] [0] => [-1 -3][y] [0] [x - 3y = 0] -x + 3y = 0 => x = 3y O vetor próprio associado ao valor próprio λ2 = 2 V = (x, y) = (3y, y) = y(3,1)