Álgebra_linear_

UNIVERSIDADE ESTADUA DO MARANHÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIENCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO: MATEMÁTICA LICENCIATURA DISCIPLINA: ALGEBRA LINEAR POLO: PINHEIRO PROFESSOR: CÉSAR EQUIPE: João Paulo Ramos Andrade TERCEIRA AVALIAÇÃO 1) Um operador linear T : R² -> R² , tal que T(1,0) = (5,1) e T(0,1) = (-1,3) . a) Determinar T(x, y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 2) Um operador linear T : R² -> R² , tal que T(1,0) = (1,-1) e T(0,1) = (3,5) . a) Determinar T(x, y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 1 - a) Solução: Seja V: (x, y) ∈ R² (x, y) = x(1,0) + y(0,1) T(x, y) = T(x(1,0) + y(0,1)) T(x, y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x, y) = x(5,1) + y(-1,3) T(x, y) = (5x, x) + (y, 3y) T(x, y) = (5x - y, x + 3y) b) Solução: N(T) = {(x, y) ∈ R² | T(x, y) = (0,0)} (5x - y, x + 3y) = (0,0) {5x - y = 0 -> y = 5x {x + 3y = 0 -> x = -3y 5.(-3y)- y= 0 y = 0 N(T) = (0,0), então T é injetora. 1 - c) Calculando os determinantes: |5 - λ -1| | 1 3 - λ | = 0 => (5-λ)(3-λ) - 1.1 = 0 => 15 - 5λ - 3λ + λ² - 1 = 0 16 - 8λ + λ² λ = \frac{8±0}{2} = 4 Δ=8²-2.1.16 Δ=0 Vetores próprios: |5 - λ -1| |x| |0| | 1 3-λ | |y| |0| Para λ=4 |5-4 -1| |x| |0| => | 5 -1| |x| |0| (x- y= 0) | 1 3-4| |y| |0| | 1 -1| |y| |0| x-y=0 => y=x (-1) => y=x O vetor próprio associado ao valor próprio λ = 4 y = x. V: (x, y) : (x, y)= y= x. 2. a) Solução: S/g \(x, y) \in \mathbb{R}^2 diagram T(x, y): x \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} T(x, y): x \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} + T(y \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}) T(x, y): x \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} T(x, y): x \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix} T(x, y): \begin{pmatrix} x - y \ x + 3y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3y \, 5y \end{pmatrix} T(x, y): \begin{pmatrix} x + 3y \ -x + 5y \end{pmatrix} A matriz canônica do operador linear: A = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ -1 \ 5 \end{pmatrix} b) Solução: N(T) : \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ T(x, y) = (0, 0)\} (x+3y, -x+5y) = (0, 0) x + 3y = 0 \rightarrow x = -3y -x + 5y = 0 -x + 3y = 0 \ x + 3y = 0 8y = 0 \ x + 3y: 0 x = 0 \ y = 0 \ (x, y) = (0, 0) N(T) : (0, 0), então T é injetora. c) Calculo dos valores próprios, calculando o determinante: \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 \ -1 & 5-\lambda \end{pmatrix} = 0 (1-\lambda)(5-\lambda)-3(-1) = 0 \Rightarrow 5-\lambda -5\lambda + \lambda^2 + 3=0 \Rightarrow 8-6\lambda + \lambda^2 \delta = (6)^2 - 2.5.8 \delta = 4 \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{\delta}}{2} \lambda_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \lambda_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 Calculo do vetor próprio: \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 \ -1 & 5-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} Para \lambda_1 = 4 \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -3x + 3y=0 \ x + (-y) =0 \end{pmatrix} -3x + 3y = 0 \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow y = x O vetor próprio associado ao valor próprio \lambda_1 = 4 \nu: (x, y) = (x x) = x\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} c) cálculo do vetor próprio para \lambda_2 = 2: \begin{pmatrix} 1-2 & 3 \ -1 & 5-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 3 \ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -x + 3y=0 \ x - 3y=0 \end{pmatrix} -x + 3y = 0 \Rightarrow x = 3y O vetor próprio associado ao valor próprio \lambda_2 = 2 \nu: (x, y) = x\begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix}, \ y\begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix}