Estrutura Euclidiana - Espaços Vetoriais, Produto Interno e Norma

4 ESTRUTURA EUCLIDIANA Definição 41 Seja E um espaço vetorial sobre o corpo ℂ Um produto interno em E é uma aplicação E E ℂ satisfazendo as seguintes propriedades 1 x y y x 2 x λy z x z λy z 3 x x 0 e x x 0 se e somente se x 0 Exemplo 42 a Se E ℝⁿ então o produto interno canônico de ℝⁿ é definido por x y x y x₁y₁ xₙyₙ b Se E ℂⁿ então o produto interno canônico de ℂⁿ é definido por x y x y x₁ȳ₁ xₙȳₙ c Seja E um espaço vetorial de dimensão finita e seja 𝔅 uma base para E Definição 43 Seja E um espaço vetorial com produto interno Dizemos que x y E são ortogonais ou perpendiculares se x y 0 Nesse caso escrevemos x y Definição 44 Seja E um espaço vetorial sobre um corpo ℂ Uma norma em E é uma aplicação E 0 satisfazendo as seguintes propriedades 1 x 0 se x 0 2 λx λx para λ ℂ 3 x y x y O par E é chamado de espaço normado Teorema 45 Seja E um espaço vetorial com produto interno e denote x x x¹² essa notação não significa ainda que isto seja uma norma Se x y então x y² x² y² Demonstração Basta notar que x y² x y x y x x x y y x y y x² y² Proposição 46 Desigualdade de CauchySchwarz Seja E um espaço vetorial com produto interno e denote x x x¹² Então para todos x y E vale x y xy Além disso a igualdade ocorre se e somente se os vetores x e y são linearmente dependentes Demonstração Observe inicialmente que para x 0 ou y 0 o resultado é imediato Consideremos então x 0 e y 0 Suponha que x λy Então x² x x λy λy λȳy y λ²y² ou seja x λy Daí x y λy y λy y λyy xy Agora suponhamos que x λy Então existe α ℂ tal que y αx x 0 De fato e basta considerar α yx x² pois y αx x y y x x² x x y x y x x² x x 0 Além disso também vale y αx αx 0 e segue do Teorema de Pitágoras que y² y αx αx² y αx² αx² αx² αx² ou seja y x² x⁴ x² y² mostrando o resultado já que y x x y Observação 47 No caso de ℂ ℝ pela desigualdade de CauchySchawrz temos que 1 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 1 e é natural definirmos o ângulo 0 θ π entre x e y por cos θ 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 x y x²y² ou seja x y xy cos θ Proposição 48 Seja E um espaço vetorial com produto interno Então x x x¹² define uma norma em E Dizemos que essa norma é gerada pelo produto interno Demonstração De fato para x 0 temse que x² x x 0 provando a primeira propriedade de norma Agora sejam x E e λ ℂ Note que λx² λx λx λȳx x λ²x² λx λx Finalmente para x y E obtemos x y² x y x y x² x y y x y² x² x y x y y² x² 2Rex y y² x² 2x y y² x² 2xy y² x y² isto é x y x y Proposição 49 Seja E um espaço vetorial com produto interno Então são válidas as seguintes propriedades de polarização i Se E for real então x y 14x y² 14x y² 41 ii Se E for complexo então x y 14x y² 14x y² i14x iy² 14x iy² 42 Proposição 410 Identidade do paralelogramo Seja E um espaço vetorial com produto interno Então x y² x y² 2x² y² Observação 411 Se E é um espaço normado a identidade do paralelogramo é válida apenas apenas se a norma considerada for a induzida pelo produto interno Definição 412 Seja E um espaço vetorial com produto interno Um subconjunto X E é ortogonal se u v para todos u v X Se além disso todos os seus vetores forem unitários ie x 1 para todo x X dizemos que X é ortonormal Proposição 413 Seja E um espaço vetorial com produto interno Então todo conjunto ortogonal X em particular se for ortonormal formado por vetores nãonulos é linearmente independente Demonstração Sejam x₁ xₘ X elementos arbitrários e suponhamos que α₁x₁ αₘxₘ 0 αᵢ ℂ Então 0 0 xᵢ α₁x₁ αₘxₘ xᵢ αᵢxᵢ xᵢ αxᵢ² ou seja αᵢ 0 Lema 424 Sejam E e F espaços vetoriais com produto interno e T E F linear Se existir a adjunta T F E de T então ela é única Além disso T é linear Proposição 425 Sejam E e F espaços euclidianos e T E F linear Então existe a adjunta T F E Demonstração Seja y F fixado Então a aplicação f E ℝ definida por fx Txy é tal que f E Assim pelo Teorema de Representação de Riesz existe um único w wy E satisfazendo Txy fx xw x E Definimos então Ty w e fica bem definida a adjunta T F E Já sabemos do Lema anterior que T é linear e única Observação 426 Em espaços de dimensão infinita nem sempre existe a adjunta Exemplo 427 Seja T ℝ² ℝ² dada por Tx₁x₂ ax₁ bx₂cx₁ dx₂ A representação de T na base canônica E é dada por TE a b c d Agora dados x₁x₂ y₁y₂ ℝ² segue que Tx₁x₂y₁y₂ ax₁ bx₂y₁ cx₁ dx₂y₂ ay₁ cy₂x₁ by₁ dy₂x₂ x₁x₂ay₁ cy₂ by₁ dy₂ e concluímos que Ty₁y₂ ay₁ cy₂ by₁ dy₂ Note que TE a c b d TEt Proposição 428 Sejam E F e G espaços euclidianos TS E F e R F G lineares e λ ℝ i I I ii T S T S iii λT λT iv RT TR v T T vi Se F E e T ou T for invertível então T¹ T¹ Proposição 429 Sejam E um espaço euclidiano e T E E linear Se W é subespaço invariante por T ou seja TW W então W é invariante por T Demonstração Seja y W Devemos mostrar que Ty W ou seja que Tyw 0 para todo w W Para isso seja w W Como y W então 0 Twy wTy como queríamos demonstrar Teorema 430 Sejam E e F espaços euclidianos e T E F linear Então i ker T Im T ii ker T Im T iii Im T ker T iv Im T ker T v posto T posto T Em particular valem as decomposições ortogonais F ker T ImT e E ker T ImT Demonstração i Note que y ker T Ty 0 xTy 0 x E Txy 0 x E y Im T Os itens ii iii e iv são análogos v Note que posto T dimIm T dimker T dim E dimker T dimIm T posto T Finalmente temos que E Im T Im T ker T Im T Definição 431 Sejam E e F espaços euclidianos e M E F uma aplicação não necessariamente linear Dizemos que M é uma isometria se para quaisquer xy E vale Mx My x y Se M é linear e é uma isometria dizemos que M é uma isometria linear Exemplo 432 Consideremos os seguintes exemplos 1 Seja a E fixado Então a aplicação T E E definida por Tx x a chamada de translação é uma isometria Note que T não é linear 2 Seja Tθ ℝ² ℝ² uma rotação de um ângulo θ ℝ no sentido antihorário ou seja Tθ pode ser escrita na forma Tθxy cos θ sen θ sen θ cos θx y cos θx sen θy sen θx cos θy xy ℝ² Temos que Tθ é uma isometria e é linear 3 Composição de isometrias é isometria ÁLGEBRA LINEAR 2 57 Teorema 433 Sejam E e F euclidianos e M E F uma isometria tal que M0 0 Então Mx y Mx My Além disso se E e F são reais então M é linear Demonstração Note inicialmente que como M0 0 então Mx x para todo x E e então Mx My x y e Mx x x y E Mas como Mx My2 Mx My Mx My Mx Mx Mx My My Mx My My Mx2 Mx My My Mx My2 e x y2 x2 x y y x y2 segue que Mx My My Mx x y y x x y E 43 Analogamente para qualquer z E temse que z x y2 z2 x2 y2 z x x z z y y z x y y x e garantimos que Mz Mx My2 z x y2 x y z E Escolhendo z x y concluímos que Mz Mx My 0 ou seja Mx y Mx My Suponhamos agora que E e F sejam reais Então de 43 obtemos Mx My x y x y E Logo para λ R temos que Mλx My λx y λx y λMx My λMx My ou seja Mλx λMx My 0 Escolhendo sucessivamente y λx e y x obtemos respectivamente Mλx λMx Mλx 0 e Mλx λMx Mx 0 e segue que Mλx λMx λMx λMλx λMx Mx 0 58 ÁLGEBRA LINEAR 2 Portanto Mλx λMx Mλx λMx 0 ou seja Mλx λMx provando que M é linear Proposição 434 Se M E F é uma isometria então M é injetiva Teorema 435 Sejam E e F euclidianos e M E F uma aplicação linear As seguintes afirmações são equivalentes i M é uma isometria ii M preserva o produto interno ou seja Mx MyF x yE para todos x y E iii MM I Além disso se dim E dim F então as condições anteriores são equivalentes a iv M e M são isometrias Demonstração i ii Suponha K R Então pela identidade de polarização 41 segue que dados x y E x y 1 4x y2 1 4x y2 1 4Mx My2 1 4Mx My2 1 4Mx My2 1 4Mx My2 Mx My Caso K C a demonstração é análoga utilizando a identidade de polarização 42 ii iii Dados x y E note que x y Mx My x MMy x MMy y 0 Escolhendo x MMy y concluímos que MMy y para todo y E demonstrando o resultado iii i Sejam x y E Então x y MMx y Mx My Daí x y2 x y x y Mx y Mx y Mx My Mx My Mx My2 provando i Consideremos agora dim E dim F iii iv De MM I segue que M1 M e também que MM I Dado x E note que x2 x x x MMx Mx Mx Mx2 Como M é linear então o resultado segue Portanto M e M são isometrias ÁLGEBRA LINEAR 2 59 iv i Imediato Corolário 436 Sejam E e F euclidianos e M E F uma isometria linear Então M transforma conjuntos ortogonais de E em conjuntos ortogonais de F Na sequência estudaremos em mais detalhes operadores lineares T E E definidos em espaços euclidianos E Definição 437 Sejam E um espaço euclidiano e T E E um operador linear Dizemos que i T é unitário se T T TT I ii T é autoadjunto se T T iii T é antiautoadjunto se T T iv T é normal se T T TT Observação 438 Operadores unitários autoadjuntos e antiautoadjuntos são operadores normais Observação 439 Se M E E é uma isometria linear então M M1 e M é unitário Proposição 440 Sejam E um espaço euclidiano complexo e T E E um operador linear Então Tx x 0 x E T 0 Demonstração Para u v E segue que se x u v então 0 Tu v u v Tu u Tu v Tv u Tv v Tu v Tv u Agora para y u iv obtemos 0 Tu iv u iv Tu u iTu v iTv u Tv v iTu v iTv u Assim Tv u Tu v Tv u Tv u 0 u v E Portanto T 0 Observação 441 A Proposição 440 é falsa para espaços reais De fato basta considerar T R2 R2 definida por Tx y y x ie T é a rotação de 90 É imediato que Tw w 0 para todo w R2 Proposição 442 Sejam E um espaço euclidiano real e T E E um operador linear Então Tx x 0 para todo x E se e somente se T é antiautoadjunto 60 ÁLGEBRA LINEAR 2 Demonstração Suponhamos que Tx x 0 para todos x E Daí dados x y E temse que 0 Tx y x y Tx x Tx y Ty x Ty y Tx y Ty x Tx y x Ty Tx y T x y T T x y ou seja T T x y 0 para todos x y E Escolhendo y T T x concluímos que T T 0 Portanto T T e T é antiautoadjunto Reciprocamente suponhamos T T Então Tx x x T x x Tx x Tx Tx x ou seja Tx x 0 para todo x E Teorema 443 Sejam E um espaço euclidiano e T E E um operador linear Então T é normal se e somente se Tx T x para todo x E Em particular vale a decomposição ortogonal E ker T ImT Demonstração Suponhamos T normal Então T T TT Então dado x E vale Tx2 Tx Tx T Tx x TT x x T x T x T x2 ou seja Tx T x Reciprocamente suponha Tx T x para todo x E Daí TT x x T x T x T x2 Tx2 Tx Tx T Tx x ou seja TT T Tx x 0 x E Se K C então segue diretamente da Proposição 440 que TT T T Se K R então segue da Proposição 442 que S TT TT é antiautoadjunto ou seja S S Mas é fácil ver que S é autoadjunto e portanto S S S isto é S 0 Portanto TT T T e T é normal Finalmente sendo T normal já sabemos que Tx T x para todo x E e portanto ker T ker T Segue então do Teorema 430 que E ker T Im T ker T Im T Lema 444 Sejam E um espaço euclidiano e H E E um operador autoadjunto Então ÁLGEBRA LINEAR 2 61 1 H possui apenas autovalores reais 2 autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais Demonstração Sejam λ K um autovalor de H e x 0 um autovetor associado a λ Então λx x λx x Hx x x Hx x λx λx x ou seja λ λx 0 donde λ λ Portanto λ R Sejam x e y autovetores associados respectivamente a autovalores distintos λ µ R Então λx y λx y Hx y x Hy x µy µx y ou seja λ µx y 0 Logo x y 0 e x e y são ortogonais Teorema 445 Espectral dos Operadores Autoadjuntos Sejam E um espaço euclidiano e H E E um operador autoadjunto Então E possui uma base ortonormal formada por autovetores de H Demonstração Faremos a demonstração por indução na dimensão n do espaço E Se n 1 então não há nada a fazer Suponhamos agora que o resultado seja válido para todo espaço de dimensão n k 1 e consideremos dim E k Sejam λ um autovalor de H sabemos que λ R e x 0 um autovetor associado a λ Sabemos da decomposição ortogonal E x x Como x é invariante por H pois x é autovetor segue da Proposição 429 que x é invariante por H H Além disso dimx k 1 e como a restrição de H a x é ainda autoadjunta então o resultado vale nesse espaço ou seja os autovetores de HW formam uma base ortogonal x2 xk de x Finalmente x x2 xk é uma base ortogonal de H com x x1 x2 xk autovetores de H Observação 446 No caso de K R a recíproca do Teorema 445 também é válida ou seja se E tem uma base ortonormal formada por autovetores de H então H é autoadjunto De fato seja x1 xn uma base ortonormal de E formada por autovetores de H Então Hxi xj λixi xj λiδij λjδij λjxi xj xi λjxj xi Hxj e segue que para quaisquer x y H vale Hx y x Hy Portanto H é autoadjunto 62 ÁLGEBRA LINEAR 2 Observação 447 Pelo Teorema 445 temos que se H é autoadjunto então existe uma base ortonormal B de E formada por autovetores de H Com isso temos que H é diagonalizável e a matriz de representação de H nessa base B é uma matriz diagonal digamos HB a11 0 0 0 a22 0 0 0 ann onde a11 ann K são autovalores não necessariamente distintos de H Escrevamos o conjunto a11 a22 ann como sendo λ1 λj com λ1 λj dois a dois distintos Agora considerando o polinômio Pt t λ1 t λj temos que PH 0 pois pH H λ1I H λjI a11 λ1 0 0 0 a22 λ1 0 0 0 ann λ1 a11 λj 0 0 0 a22 λj 0 0 0 ann λj a11 λ1 a11 λj 0 0 0 a22 λ1 a22 λj 0 0 0 ann λ1 ann λj 0 Logo o polinômio mínimo mHt de H deve dividir Pt implicando pela minimalidade do grau de mHt que ele é dado por mHt t λ1 t λj Portanto na decomposição primária de E teremos E kerH λ1I kerH λjI em que cada kerH λiI é o autoespaço associado ao autovalor λi de H Proposição 448 Sejam E um espaço euclidiano complexo e H K E E operadores autoadjuntos Então HK KH se e somente se os autoespaços de H forem invariantes por K Nesse caso existe uma base ortonormal de E formada por elementos que são ao mesmo tempo autove tores de H e de K Demonstração Suponhamos que HK KH e seja E Eλ1 Eλj a decomposição de E em termos dos autoespaços Eλi associados aos autovalores distintos λ1 λj de H Daí se w Eλi então Hw λiw e HKw KHw Kλiw λiKw ou seja Kw Eλi Logo KEλi Eλi e Eλi é invariante por K ÁLGEBRA LINEAR 2 63 Reciprocamente suponha que os autoespaços de H sejam invariantes por K Assim se w Eλi então Kw Eλi Vale HKw λiKw Kλiw KHw w Eλi e como a relação acima vale para cada i 1 j isso garante que HK KH Consideramos agora o operador autoadjunto K Eλi Eλi ele é autoadjunto pois é a restrição de um operador autoadjunto a um subespaço invariante e aplicamos o Teorema 445 a ele obtendo uma base ortonormal de Eλi formada por autovetores de K Como todo elemento de Eλi é um autovetor de H obtivemos assim uma base ortonormal de Eλi formada por autovetores tanto de K quanto de H Fazendo o mesmo procedimento para cada um dos espaços Eλ1 Eλj concluímos o resultado tomando a união de cada uma das bases obtidas a garantia de que os elementos são ortogonais é pelo item 2 no Lema 444 já que autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais Observação 449 A Proposição anterior pode ser generalizada para um número finito de operadores auto adjuntos que comutam dois a dois Definição 450 Sejam E um espaço euclidiano e H E E um operador linear autoadjunto 1 Dizemos que H é positivo semidefinido se Hx x 0 para todo x E e escrevemos H 0 2 Dizemos que H é positivo definido se Hx x 0 para todo 0 x E e escrevemos H 0 Exemplo 451 Sejam E e F euclidianos T E F linear e T F E a sua adjunta Então T T E E é linear Além disso T T é autoadjunta e positiva semidefinida Com efeito T T T T T T e para qualquer x E vale T Tx x Tx Tx 0 Lema 452 Sejam E euclidiano e H E E um operador autoadjunto Então 1 H é definido semipositivo se e somente se seus autovalores são todos maiores do que ou iguais a zero 2 H é definido positivo se e somente se seus autovalores são todos positivos Então H Demonstração 1 Suponha H 0 Se λ é autovalor de H sabemos que λ R seja 0 x E tal que Hx λx Daí λx2 λx x λx x Hx x 0 ou seja λ 0 Reciprocamente suponha que todos os autovalores de H sejam nãonegativos Como H é autoadjunto então existe uma base ortonormal de E formada por autovetores de H digamos B x1 xn com Hxi λixi para i 1 n Dado x E temse que x α1x1 αnxn e Hxx i1n Hαixi i1n xi i1n αiλixi i1n αixi i1n λiαi² 0 provando que H é positivo semidefinido 2 A demonstração é análoga ao caso 1 Por fim apresentaremos agora o Princípio de Minimax para os autovalores de um operador autoadjunto Teorema 453 Princípio de Minimax Sejam E um espaço euclidiano H E E um operador linear autoadjunto e λ₁ λ₂ λₙ os autovalores de H Então λj mindim Sj maxx Sx1 Hxx em que S é um subespaço de E Demonstração Para j 1 n fixado seja S um subespaço de E com dim S j Como H é autoadjunto seja x₁ xₙ uma base ortonormal de E formada por autovetores de H correspondentes aos autovalores λ₁ λₙ e considere U spanx₁ xj1 Daí como dimS U j 1 e dim S j segue que existe x S perpendicular a todos os vetores de U Com efeito supondo por contradição que S U 0 segue que W S U é uma soma direta e é subespaço de E Além disso dim W dim S dim U j n j 1 n 1 n dim E um absurdo Portanto S U 0 Com isso x αjxj αnxn Podemos supor sem perda de generalidade que x 1 basta normalizar x ou seja 1 x² i1n αi² Assim Hxx ijn αiHxi ijn αixi ijn αiλixi ijn αixi ijn λiαi² λj ijn αi² λj ou seja max xSx1 Hxx λj Como a desigualdade anterior vale para qualquer subespaço S de E com dim S j segue então que min dim Sj max xSx1 Hxx λj Reciprocamente seja S0 o subespaço de E dado por S0 spanx1 xj Então dim S0 j Assim dado x S0 temos que x β1x1 βjxj Supondo x 1 obtemos 1 x2 i1j βi2 Logo Hxx i1j βiHxi i1j βixi i1j βiλixi i1j βixi i1j λiβi2 λj i1j βi2 λj ou seja λj max xS0x1 Hxx min dim Sj max xSx1 Hxx onde o mínimo é considerado sobre a coleção de todos os subespaços S de E com dim S j Fica demonstrado o Teorema