Lista de Exercicios Produto Interno - Algebra Linear

Lista 3 Produto Interno Questão 1 Seja V um espaço vetorial munido com produto interno Mostre que para quaisquer u v e w V e λ R temos a u v w u v u w b u λv λ u v Questão 2 Seja V um espaço vetorial munido com produto interno Tome u₁uₙ v₁ vₘ V e λ₁ λₙ α₁ αₘ R Mostre que i1 to n λᵢuᵢ j1 to m αⱼvⱼ i1 to n j1 to m λᵢαⱼ uᵢ vⱼ Questão 3 Sejam V e W espaços vetoriais um produto interno em V e T V W uma transformação linear Mostre que a função ᵀ definida por u₁ w₂ᵀ Tu₁ Tw₂ é um produto interno em W Questão 4 Seja U um espaço vetorial munido com produto interno Mostre que se U é subespaço de V então um produto interno em V é produto interno em U Questão 5 Seja V um espaço vetorial munido com produto interno Mostre que para quaisquer u v V temos u v u v u² v² Questão 6 As funções abaixo definem um produto interno em V Prove ou dê um contraexemplo a V f 01 R f é contínua e f g ₀¹ t²ftgtdt b V f 01 R f é contínua e f g ₀¹ t 12ftgtdt c V f 01 R f é contínua e f g ₀¹ ftgtdt d V R² e x₁ x₂ y₁ y₂ 2x₁y₁ 33x₂y₂ e V R² e x₁ x₂ y₁ y₂ 3x₁y₁ x₂y₂ f V P₂R e p q p0q0 p1q1 p1q1 g V P₂R e p q 1 to 1 ptqtdt h V P₂R e p q p0q0 p1q1 f V M₂₂ e a b c d e f g h ag dh Questão 7 Para as funções acima que definirem um produto interno calcule a norma a Das funções ft t² e gt 1 b Dos vetores u 10 e v 11 c Dos polinômios pt t² 3 e qt 1 t Questão 8 Mostre que i1 to n aᵢbᵢ² i1 to n aᵢ² i1 to n bᵢ² r r a₁ aₙ b₁ bₙ R