Álgebra_linear_

uh hou Mon UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO: MATEMÁTICA LICENCIATURA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR POLO: PINHEIRO PROFESSOR: CÉSAR EQUIPE: ______ TERCEIRA AVALIAÇÃO 1) Um operador linear T : R² → R² , tal que T(1,0) = (5,1) e T(0,1) = (-1,3) . a) Determinar T(x,y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 2) Um operador linear T : R² → R² , tal que T(1,0) = (1,-1) e T(0,1) = (3,5) . a) Determinar T(x,y) b) Determinar N(T) . T é injetora? c) Calcular os valores próprios e os vetores próprios 1 - a) Solução: Seja v : (x,y) ∈ R² (x,y) = x(1,0) + y(0,1) T(x,y) = T(x(1,0) + y(0,1)) T(x,y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x,y) = x(5,1) + y(-1,3) T(x,y) = (5x-y, x+3y) b) Solução: N(T) = { (x,y) ∈ R² | T(x,y) = (0,0) } (5x - y, x + 3y) = (0,0) 5x - y = 0 => y = 5x x + 3y = 0 => x = -3y y = 0 N(T) = (0,0), então T é injetora. A matriz canônica do operador linear: A = | 5 -1 | | 1 3 | 2) a) Solução: Seja V: (x,y) ∈ ℝ² (x,y). X (1,0) + y(0,1) T(x,y): T(x)(1,0) + T(y)(0,1) T(x,y): x(1,0) + y(0,1) T(x,y): x(1,-1) + y(3,5) T(x,y) = (x,-x) + (3y,5y) T(x,y) = (x + 3y, -x + 5y) b) Solução: N(T): {(x,y) ∈ ℝ² T(x,y) = (0,0)} (x + 3y, -x + 5y) = (0,0) {x + 3y = 0 -x + 5y = 0 (-3)(-x) + 5y = 0 8y = 0 y = 0 {x + 3y = 0 x = 0}(x,y) = (0,0) N(T) = (0,0), então T é injetora. A matriz canônica do ápaca dos lineares: A = [1 3] [-1 5] c) cálculo dos valores próprios, calculando o determinante: [1 - λ 3] [-1 5 - λ] = 0 (1- λ)(5- λ) - 3(-1) = 0 ⟹ 5 - λ - 5λ + λ² + 3 - 0 ⟹ 8 - 6λ + λ² δ = (6)² - 4.2.8 δ = 4 λ = (6 ± √4) / 2 λ₁ = 6 ± 2 / 2 λ₁₂ = (6 ± 2) / 2 λ₁ = 4 λ₂ = 2 cálculo do vetor próprio: [1 - λ 3][x] = [0] [-1 5 - λ] [y] [0] Para λ₁ = 4: [1 - 4 3][x] = [0] ⟹ [3 3][x] = [0] [-1 5 - 4] [y] [0] / -1 -3] [y] [0] -3x + 3y = 0 ⟹ 3y = 3x ⟹ y = x O vetor próprio associado ao valor próprio λ₁ = 2 V = (x,y) = (x,x) = X(1,1) c) calculando os vetores próprios para λ₂ = 2: [1 - 2 3][x] = [0] ⟹ [1 3][x] = [0] [-1 5 - 2] [y] [0] / -1 -3] [y] [0] -x + 3y = 0 ⟹ x = 3y O vetor próprio associado ao valor próprio λ₂ = 2 V = (x,y) = {3y,y} = y(3,1)