Álgebra_linear_

P E R T E M U A N A N T A R A B A N G S A 1 - a) Solução: A Matriz canônica do operador linear: A = [ 5 -1 ] [ 1 3 ] Seja v = (x,y) ∈ R^2 (x,y) = x(1,0) + y(0,1) T(x,y) = T(x(1,0) + y(0,1)) T(x,y) = xT(1,0) + yT(0,1) T(x,y) = x(5,1) + y(-1,3) T(x,y) = (5x, x) + (-y, 3y) T(x,y) = (5x - y, x + 3y) b) Solução: N(T) = {(x,y) ∈ R^2 | T(x,y) = (0,0)} (5x - y, x + 3y) = (0,0) 5x - y = 0 => y = 5x x + 3y = 0 => x = -3y 5(1 - 3x) = y = 0 x + 3.0 = 0 α = 0 y = 0 N(T) = (0,0), então T é injetora. 1 - c) Calculando os determinantes: [ 5 - λ -1 ] [ 1 3 - λ ] = 0 => (5-λ)(3-λ) - 1 . 1 = 0 => 15 - 5 λ - 3 λ + λ^2 - 1 = 0 16 - 8λ + λ^2 ∆ = 8 ± 0 λ = 8 ± 0 ────── = 4 2 ∆ = 64 - 2.1.16 ∆ = 0 Vetores próprios: [ 5 - λ -1 ] [ x ] [ 0 ] [ 1 3 - λ ] [ y ] [ 0 ] Para λ = 4 [ 5 - 4 -1 ] [ x ] [ 0 ] [ 1 3 - 2 ] [ y ] [ 0 ] [x - y = 0 => y = x] => y = x x - y = 0 => y = x(-1) => x: λ = 4 O vetor próprio associado ao vetor próprio λ = 4 v = (x,y) : (x - y) = y = x. 2.a) Solução: S(a v: (x,y) ∈ IR² (x,y) X(1,0)+(y(0,1) T(x,y)=T(x(1,0)+T(y(0,1) T(x,y)=xT(1,0)+yT(0,1) T(x,y)=xT(1,1)+y(3,5) T(x,y)=(x,-x)+(3y,5y) T(x,y)=(x+3y,-x+5y) b) Solução: N(T):{(x,y)∈IR² T(x,y)=(0,0) (x-3y,-x+5y)=(0,0) {x+3y=0 x+34y=quivel +(X-5)y=0 y=0 (N(T):(0,0), então T é injetora. A matriz canônica de opara das linhas: A=[ 1 3] [-1 5] C) Calculo dos valores próprios, calculando o determinante: [-λ 3] [-3 5-λ]=0 (-λ)(5-λ)-3.(-3)=0 => 5-λ-5λ+λ²+3.0 => 8-6λ+λ² Δ=(-6)²-2.8 Δ=4 λ=6±√4/2 2 λ₁=6+2/2=>y=2 2 calculo do vetor próprio: [-λ 3][x]=[0] [-3 5-λ][y] [0] Para λ₁=2 [-2 3][x] [0]=[3][x] [0] [-3 4][y] [0] -3x+3y=0 => 3y=3x => y=x O vetor próprio associado ao valor próprio λ₁=2 V=(x,y)=(x,x)=(1,1) C) calculo do vetor próprio para λ₂=2: [-2 3][x][0]=[3][x][0]=-x+3y=0 [-3 5-2][y][0]=[-1 -3][y][0] -x+3y=0 => X=3y/1 O vetor próprio associado ao valor próprio λ₂=2 V=(x,y)=(3y,y) Y(3,2)