Atividade 1

Atividade 1 1 VERDADEIRO a J á que se T é transformação linear então Ta u a Tu para todo a R u R3 Em particular a0 u100 T0u T000 0 0 Logo c T é linear TᵗT logo c Transformação linearl Logo p dar dim NuT 1 Assim T e Transf linear T não é transf linear b FALSO Como TB 1 3 2 0 4 1 4 1 Dai T12 232 T23 132 T01 037 T24 T23 T01 433 E como T23 T12 T01 332 037 43 mn y 0 c Falso Seja pxy a x5 b x4 y a x3 a x2 y2 a x y a x y2 3 x2 a x t est NulT Tpx 5 ax4 5bx3 7ax2 3x2 2ax x 0 ax 0 sei a0 ase0 dim NulT 1 d VERDADEIRO S ej v₁ v₂ vₖ vetores LI Consideremos α₁Tv₁ α₂Tv₂ αₙTvₙ 0 T é LI Tα₁v₁ Tα₂v₂ Tαₙvₙ T0 T é injetiva α₁v₁ α₂ v₂ αₙ vₙ 0 só LI α₁ αₙ 0 Portanto Tvₙ Tvₙ é L I e FALSO XYZ1 XY Z 2 de equações 2 incógnitas mas o sistema é impossível 2 Seja A uma matriz de Markov 2x2 simétrica A 1a₁ 1a₂ Com 0 a₁ PA I a1² a2a1k 1 k 1 k 1 a1 a 1 1k Se k1 2 a1 1a 1 0 mn y x y xy xx x 11 k2 a1 a1 1 1 x y 0 0 x y xy yy y 11 A sim A 2 a1 2 a1 1 0 1 1 1 11 0 1 A PDPᵗ D 1 0 2 pᵗ 1 2 0 PDPᵗPDPᵗ PDP ᵗ kᵖː P Dᵏ Pᵗ A ᵏ PDP 1 ᵏ PDPᵗ ᵏ PDPᵗ PDPᵗᵏ Aᵏ 1 1 1 0 1 1 12 1 1 1 ² 12 1 2a1ⁿ 1 2a1ⁿ ¹ ² 2a1ⁿ ¹ ² 2a1ⁿ 12 2a1ⁿ 1 2a1ⁿ ¹ 2a1ⁿ 12 1 2a1ⁿ 1 2a1 1 2a1 1 Lim 2a1ⁿ 0 n₀ n logo Lim n₀ ¹⁰ Aⁿ 12 1 1 1 1 3 A B simetrias k R A t A ᵗ B t Bᵗ AB ᵗ Aᵗ Bᵗ A A B simétrica e kAᵗ k A ᵗ k A simétrica Logo os matrješ simétricos não são uma subespaço vetorial B Não y já que A 0 1 B 1 0 mas AB 0 0 e tem det AB 1 c Não já que mas A 3 0 B 0 1 det A 0 det B 0 mas AB 2 1 e det AB 0 6 a xyzt0 2xxy2x4t0 2xz0 xz0 claramente t0 y luego xz ty xz y También xyzt0 b dimensión do conjuncto solução 3 T10100 1010 x010 ω0001 T0001 0000 T0011 0000 T1001 100 T0010 010 Notemos que 1010 010 0001 0010 é uma base de R5 xyztw x1010 w0001 y010 Txyztw xzy Txyztw zx 100 yt 010 yt 001 Como ImT 100 010 dim ImT 2 Construção dA A uma matriz simétrica Base j i 1 j i n A aij a 0 0 0 a n 0 0 1 0 0 0 0 0 a n 1 0 0 0 a 1 a m p xyz 123 t 111 y 4 t z 2 t x 3 t x 1 y 2 y 1 z 3 Assim x 1 y 2 z 3 x y 1 x z 1 x z y 1 Retas contínuas P t plano planos são reprodução Special cos π3 sin π3 S x y Txy cos π3 t sin π3 souvg 5 y x 170 371x y Notemos que Se una encurvatura é rotada um ângulo θ según segue sendo uma circunferencia Portanto Txy T σ θ xy 170 514 x y