Estatística Descritiva Bivariada - Análise de Variáveis Qualitativas e Tabelas de Contingência

30092024 MÉTODOS QUANTITATIVOS Eduardo de Pintor eduardopintorunioestebr ESTATÍSTICA DESCRITIVA BIVARIADA Estatística descritiva envolvendo duas variáveis análise bivariada Tem como objetivo portanto estudar as relações associações para variáveis qualitativas e correlações para variáveis quantitativas entre duas variáveis As relações podem ser estudadas por meio da distribuição conjunta de frequências tabelas de contingência ou de classificação cruzada representações gráficas e ainda por meio de medidasresumo A análise bivariada será estudada a partir de duas situações distintas quando duas variáveis são qualitativas quando duas variáveis são quantitativas 1 2 30092024 ESTATÍSTICA DESCRITIVA BIVARIADA ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS O objetivo é avaliar se existe relação entre as variáveis qualitativas ou categóricas estudadas além do grau de associação entre elas Tabelas de distribuição conjunta de frequências A forma mais simples de resumir um conjunto de dados provenientes de duas variáveis qualitativas é por meio de uma tabela de distribuição conjunta de frequências Neste caso específico denominada tabela de contingência ou tabela de classificação cruzada crosstabulation ou ainda tabela de correspondência que exibe de forma conjunta as frequências absolutas ou relativas das categorias da variável X representada no eixo das abscissas e da variável Y representada no eixo das ordenadas 3 4 30092024 ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS Tabelas de distribuição conjunta de frequências Exemplo 01 Um estudo foi feito com 200 indivíduos para analisar o comportamento conjunto da variável X operadora de plano de saúde com a variável Y nível de satisfação TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE FREQUÊNCIAS 34 dos indivíduos à operadora TotalHealth 36 à Viva Vida 30 à Mena Saúde 48 dos indivíduos baixo nível de satisfação 36 médio 16 alto 20 dos indivíduos pertencem à operadora Total Health e classificaram o nível de satisfação como baixo 5 6 30092024 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE FREQUÊNCIAS Proporção de indivíduos da Total Health com nível de satisfação baixo é de 588 4068 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE FREQUÊNCIAS Proporção de indivíduos com nível de satisfação baixo da operadora Viva Vida é de 333 3296 7 8 30092024 ESTATÍSTICA DESCRITIVA BIVARIADA Estatística descritiva MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO Estatística quiquadrado A estatística quiquadrado χ² utilizada para variáveis qualitativas nominais e ordinais Coeficiente de Spearman É uma medida de associação entre duas variáveis qualitativas ordinais 9 10 30092024 MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO Estatística quiquadrado A estatística quiquadrado χ² mede a discrepância entre uma tabela de contingência observada e uma tabela de contingência esperada partindo da hipótese de que não há associação entre as variáveis estudadas Se a distribuição de frequências observadas for exatamente igual à distribuição de frequências esperadas o resultado da estatística qui quadrado é zero Assim um valor baixo de χ² indica independência entre as variáveis MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO Estatística quiquadrado A estatística quiquadrado χ² é dada por Onde quantidade de observações na iésima categoria da variável X e na jésima categoria da variável Y Eij frequência esperada de observações na iésima categoria da variável X e na jésima categoria da variável Y I quantidade de categorias linhas da variável X J quantidade de categorias colunas da variável Y 11 12 30092024 MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO Tabela quiquadrada Graus de liberdade gl k1 ou r1c1 Valor crítico Graus de liberdade gl 31 2 x² 15861 x² 5991 crítico 13 14 30092024 MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO RESOLUÇÃO DA ESTATÍSTICA X² POR MEIO DO SOFTWARE STATA 15 16 30092024 MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO Coeficiente de Spearman É uma medida de associação entre duas variáveis qualitativas ordinais Nível de satisfação insatisfeito neutro satisfeito Grau de escolaridade ensino fundamental ensino médio graduação pósgraduação Classificação de serviço péssimo ruim regular bom excelente O cálculo do coeficiente de Spearman pode ser elaborado por meio da seguinte expressão em que n número de observações pares de valores dk diferença entre os postos de ordem k MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO O coeficiente de Spearman é uma medida que varia entre 1 e 1 Se rsp 1 todos os valores de dk são nulos indicando que todos os postos são iguais para as variáveis X eY associação positiva perfeita 𝑟𝑠𝑝 1 Associação negativa perfeita 𝑟𝑠𝑝 0Não há associação entre as variáveis 𝑟𝑠𝑝 1 Há associação entre as variáveis 17 18 30092024 EXEMPLO EXEMPLO O coordenador do curso de graduação em Administração está analisando se existe algum tipo de associação entre as notas de 10 alunos em duas disciplinas Simulação e Finanças Os dados do problema estão representados na Tabela 39 Calcule o coeficiente de Spearman 19 20 30092024 EXEMPLO Para o cálculo do coeficiente de Spearman inicialmente atribuiremos postos a cada categoria de cada variável em função dos respectivos valores Tabela 310 O Postos das disciplinas de simulação e finanças dos 1º alunos EXEMPLO Cálculo do coeficiente de Spearman O valor 0758 indica uma associação positiva forte entre as variáveis 21 22 30092024 EXEMPLO C SPEARMAN Um estudo foi realizado para analisar a relação entre a quantidade de horas de exercício por semana X e o nível de bem estar Y de 6 indivíduos Os dados coletados estão na tabela abaixo Horas de Exercício X Nível de BemEstar Y Indivíduo 7 5 1 6 3 2 8 4 3 5 2 4 4 1 5 9 6 6 RESULTADO d2 d X Y Nível de Bem Estar Y Horas de Exercício X Indivíduo 4 2 7 5 1 9 3 6 3 2 16 4 8 4 3 9 3 5 2 4 9 3 4 1 5 9 3 9 6 6 23 24 30092024 CÁLCULO O coeficiente de correlação de Spearman rs é 06 indicando uma correlação negativa moderada entre a quantidade de horas de exercício por semana e o nível de bemestar Isso sugere que à medida que as horas de exercício aumentam o nível de bemestar tende a diminuir o que pode ser contraintuitivo e indicar a necessidade de uma análise mais aprofundada ou a presença de outros fatores influenciando os resultados ANÁLISE BIVARIADA DE DADOS QUANTITATIVOS 25 26 30092024 CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Avaliar se existe relação entre as variáveis quantitativas estudadas além do grau de correlação entre elas Tabelas de distribuição conjunta de frequências São representadas da mesma forma que as tabelas com dados qualitativos Representação gráfica por meio de um diagrama de dispersão A correlação entre duas variáveis quantitativas pode ser representada de forma gráfica por meio de um diagrama de dispersão Ele representa graficamente os valores das variáveis X e Y em um plano cartesiano Um diagrama de dispersão permite portanto avaliar a se existe ou não alguma relação entre as variáveis em estudo b o tipo de relação entre as duas variáveis isto é a direção em que a variável Y aumenta ou diminui em função da variação de X c o grau de relação entre as variáveis d a natureza da relação linearexponencialetc CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS 27 28 EXEMPLO 30092024 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Coeficiente de Correlação de Pearson O coeficiente de correlação de Pearson p é uma medida que varia entre 1 e 1 Por meio do sinal é possível verificar o tipo de relação linear entre as duas variáveis analisadas direção em que a variável Y aumenta ou diminui em função da variação de X quanto mais próximo dos valores extremos mais forte é a correlação entre elas Logo Se p for positivo existe uma relação diretamente proporcional entre as variáveis se p 1 temse uma correlação linear positiva perfeita Se p for negativo existe uma relação inversamente proporcional entre as variáveis se p 1 temse uma correlação linear negativa perfeita Se p for nulo não existe correlação entre as variáveis MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Coeficiente de Correlação de Pearson O coeficiente de correlação de Pearson p pode ser calculado como a razão entre a covariância de duas variáveis e o produto dos desviospadrão S de cada uma delas conforme segue 31 32 30092024 EXEMPLO EXEMPLO Um estudo foi realizado para analisar a relação entre a quantidade de horas de estudo por semana X e as notas finais em um exame Y de 6 estudantes Os dados coletados estão na tabela NOTA FINAL Y HORAS DE ESTUDO X ESTUDANTE 50 2 1 55 3 2 65 5 3 70 7 4 80 8 5 85 9 6 33 34 Variável X Variável Y Variável X Variável Y CALCULE AS SOMATÓRIAS DE XY X2 Y2 E XY Média de X e Y X2357896567 Y55657080856675 Estudante x y x i x y i y x i x y i y x i x 2 y i y 2 1 2 50 367 175 64225 134689 30625 2 3 55 267 125 33375 71289 15625 3 5 65 067 25 1675 04489 625 4 7 70 133 25 3325 17689 625 5 8 80 233 125 29125 54289 15625 6 9 85 333 175 58275 110889 30625 Total 1900 393334 9375 30092024 EXEMPLO COVARIÂNCIA Um estudo foi realizado para analisar a relação entre a quantidade de horas de estudo por semana X e as notas finais em um exame Y de 5 estudantes Os dados coletados estão na tabela Horas de Estudo X Nota Final Y Estudante 50 2 1 55 3 2 65 5 3 70 7 4 80 8 5 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS As principais medidas de correlação utilizadas para variáveis quantitativas são a covariância e o coeficiente de correlação de Pearson Covariância Mede a variação conjunta entre duas variáveis quantitativas X e Y e sua expressão é dada por Uma das limitações da covariância é que a medida depende do tamanho da amostra podendo levar a uma estimativa ruim em casos de pequenas amostras O coeficiente de correlação de Pearson é a alternativa para esse problema 39 40 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS O coeficiente de correlação de Pearson r é aproximadamente 099 indicando uma correlação positiva muito forte entre a quantidade de horas de estudo por semana e as notas finais no exame Isso sugere que em geral quanto mais horas os estudantes estudam melhores são suas notas r Σ X X Y Y Σ X X 2 Σ Y Y 2 r1900 393334 x 9375 r1900 368750025 r1900 1920 r 099 EXEMPLO Uma empresa deseja analisar a relação entre a quantidade de horas de treinamento X que seus funcionários recebem e a pontuação de desempenho Y que eles obtêm em uma avaliação interna A empresa coletou os dados de uma amostra de cinco funcionários tabela Com base neles calcule o coeficiente de Pearson Funcionário Horas de Treinamento X Pontuação de Desempenho Y A 1 2 B 2 25 C 3 3 D 4 35 E 5 4 x y x i x y i y x i x y i y x i x 2 y i y 2 1 2 2 25 3 3 35 5 4 4 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Estudante X Y X X Y Ȳ X XY Ȳ 1 2 50 2 3 55 3 5 65 4 7 70 5 8 80 Total 30092024 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS A covariância entre a quantidade de horas de estudo por semana e as notas finais no exame é 30 Isso indica que há uma relação positiva entre as duas variáveis à medida que as horas de estudo aumentam as notas finais tendem a aumentar também covXY 12051 30 EXERCÍCIO Uma empresa deseja analisar a relação entre a quantidade de horas de treinamento X que seus funcionários recebem e a pontuação de desempenho Y que eles obtêm em uma avaliação interna A empresa coletou os seguintes dados de uma amostra de cinco funcionários Com base nesses dados calcule a covariância Pontuação de Desempenho Y Horas de Treinamento X Funcionário 20 10 A 25 20 B 35 30 C 45 40 D 55 50 E 43 44 EXEMPLO x y x i x y i y x i x y i y x i x 2 y i y 2 1 2 2 1 2 4 1 2 25 1 05 05 1 025 3 3 0 0 0 0 0 4 35 1 05 05 1 025 5 4 2 1 2 4 1 MEDIDAS DE CORRELAÇÃO VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Estudante X Y X X Y Ȳ X XY Ȳ 1 2 50 3 14 42 2 3 55 2 9 18 3 5 65 0 1 0 4 7 70 2 6 12 5 8 80 3 16 48 Total 120