Lista - Álgebra Linear 2021-2

1001236/80136 - ALGEBRA LINEAR 1 Periodo Letivo: 2021/2 - ENPE 4 Prof. Leandro Nery de Oliveira Lista de Exercicios Lembre que s6 faz sentido falar de um espaco vetorial V se vocé definir um corpo que age em V. As propriedades do produto por escalar de um espaco vetorial justifica isso. Dizer que um espaco vetorial € real significa que os escalares sao numeros reais. Se um espaco vetorial € complexo, entao os escalares sao nuimeros complexos. Se um espaco vetorial € racional, entao os escalares sao niimeros racionais. Assim, um conjunto pode ser um espaco vetorial sobre um corpo, mas nao ser espaco vetorial sobre outro corpo. Se nada for dito sobre o corpo, assumimos que o espaco vetorial é real. Os exercicios a seguir mostram isso. 1. O conjunto dos nimeros reais R é um espaco vetorial real? O conjunto dos numeros reais R é um espaco vetorial complexo? Justifique. 2. O conjunto dos nimeros racionais a * Q={F:aeZbeZ} é um espaco vetorial real? Seraé que o conjunto dos nimeros racionais Q é um espaco vetorial racional? Justifique. 3. Seja V o espaco vetorial R" = {(21,%2,-+- ,%n) : % € Ri = 1,---,nb}. Qual é 0 vetor nulo de V e 0 que é —(21,%9,°-+ ,%p)? 4. Seja W = M(2,2), isto é, W é 0 conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Descreva o vetor nulo e o vetor oposto de W. 5. Verifique se o conjunto solugao do sistema a seguir 6 um espaco vetorial: x+y —w=0 x —zZ+w=2 y+tz—-w=-3 0 x+y —2w=1 6. Seja S o espaco solucao do sistema rtytaz=0 ctay+z2z=0. ax+y+z=0 Determine os valores de a para os quais S' seja: a propria origem; uma reta que passa pela origem; e, um plano que passa pela origem. (Sugestao: a matriz dos coeficientes deve ser escalonada. Lembre que, neste caso, para que o sistema possua uma tinica solugdo (a origem, no caso) a matriz escalonada nao tera linhas nulas. Para que a solucao do sistema seja uma reta, a matriz escalonada deve ter uma linha nula. E, por fim, para que a solucao do sistema seja um plano, a matriz escalonada deve ter duas linhas nulas. Determine o valor de a para cada um destes casos.) 7. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um espaco vetorial: (a) W = {(2,y,z) € R®: 27+ 3y —2z = 0} b (b) W = i(“ 1) € Ma(R):b= aed =~a} (c) W ={A e€M,(R): A’ = —A} (d) W = {(az,2,z): 2,2 €R} (ec) W={f €C(R): f(—x) = f(x), Vx € R} L\ z (f) W = ¢ (az, y,z) € R?: det} 1 2 1 | =0 O11 (g) W = {A € M)(R) : tr(A) = 0} (lembre que tr(A) é a soma dos elemen- tos da diagonal principal a matriz). Algumas vezes, um conjunto € munido com operacoes de adigado e multipli- cagao por escalar que sao diferentes do padrao (ou usual). Essa quebra da forma usual de somar ou multiplicar por escalar pode mudar a forma do conjunto, fazendo com que se quebre algumas propriedades de espaco veto- rial. Assim, um conjunto que € um espacgo vetorial (real ou complexo), sob a soma e multiplicacgao usuais, pode nao continuar sendo um espaco vetorial se mudamos as operagoes. 8. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de ntimeros reais (V = R?) e considere as operagoes de adigao e multiplicagao por escalar definidas por: usu = (x,y) B (s,t) = (c+s+1,y+t—2), aOQu = (ax+a—l,ay—2a+42) onde + representa a soma usual. (a) Calculeu@vea©u para u = (—2,3), v= (1,-2) ea =2. (b) Verifique que 0 ¥ (0,0). Isto é, verifique que o vetor nulo de V, com as operacoes definidas, nao é a origem. Isso mostra que, dependendo das operações definidas, nem sempre o zero é o elemento neutro. Sugestão: Encontre um vetor 0 tal que u ⊕ 0 = u (0 representa o "vetor nulo"de V com as operações definidas). (c) Quem é −u? (d) Mostre que −u ⊕ u = 0. (e) Verifique se V é um espaço vetorial real. 9. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: u ⊕ v = (x, y) ⊕ (s, t) = (x + s, 0) αu = α(x, y) = (αx, αy) Note que o produto por escalar é o usual. Nestas condições, V é um espaço vetorial? 10. Seja V = {f : R → C : f(−x) = f(x)} (f(x) é o conjugado do número complexo f(x)). Mostre que V , com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) (cf)(x) = cf(x), é um espaço vetorial real. 11. Use as propriedades de espaço vetorial para provar que se V é um espaço vetorial com v ∈ V e n ∈ N então n · v = v + · · · + v (n parcelas). 12. A propriedade comutativa dos espaços vetoriais pode ser demonstrada a par- tir das outras propriedades? Justifique. 13. Sejam U e V espaços vetoriais. Defina operações de soma e produto por escalar de tal modo que o conjunto U × V = {(u, v) : u ∈ U, v ∈ V } seja um espaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e u, v ∈ V . O segmento de reta de extremidades u, v é, por definição, o conjunto [u, v] = {(1 − t)u + tv : 0 ≤ t ≤ 1}. Um conjunto X ⊂ V é chamado de convexo quando u, v ∈ X ⇒ X implica que [u, v] ∈ X. (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X está contido em X.) 14. Mostre que a interseção V1 ∩· · ·∩Vm de conjuntos convexos V1, · · · , Vm ⊂ V é um conjunto convexo. 15. Prove que o disco D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1} é um conjunto convexo. Bons estudos!