Exercícios - Álgebra Linear 2021-2

1001236/80136 - ÁLGEBRA LINEAR 1 Período Letivo:2021/2 - ENPE 4 Prof. Leandro Nery de Oliveira Aula 15fev2022 Exemplo 1. Considere as bases B = {1, 1 + t, t + t2} e C = {2, 1 − t, 1 − t2} de P2(R). Achemos [I]C B. Para isso, tomamos os elementos de C e escrevemos como combinação linear dos elementos de B: 2 = x · 1 + y · (1 + t) + z · (t + t2) ⇒ 2 = x + y + yt + zt + zt2 2 = x + y + (y + z)t + zt2 ⇒      x + y = 2 y + z = 0 z = 0 ⇒ x = 2, y = z = 0. Para o segundo vetor da base C, temos 1 − t = x · 1 + y · (1 + t) + z · (t + t2) = x + y + yt + zt + zt2 1 − t + 0t2 = x + y + (y + z)t + zt2 ⇒      x + y = 1 y + z = −1 z = 0 ⇒ x = 2, y = −1, z = 0. Para o terceiro vetor da base C, temos 1 − t2 = x · 1 + y · (1 + t) + z · (t + t2) 1 + 0t − t2 = x + y + (y + z)t + zt2 ⇒      x + y = 1 y + z = 0 z = −1 ⇒ x = 0, y = 1, z = −1. Portanto, a matriz mudança de base, da base B para a base C, é [I]C B =   2 2 0 0 −1 1 0 0 −1   . Exercício: Calcule a matriz mudança de base [I]B C. Exemplo 2. Tome V = R3 e sejam B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} e C a base canônica. Encontramos [I]C B. Escrevemos os vetores da base canônica como combinação linear dos vetores da base B: (1, 0, 0) = x(0, 1, 1) + y(1, 0, 1) + z(1, 1, 0) ⇒      y + z = 1 x + z = 0 x + y = 0 ⇒ x = −1 2, y = z = 1 2 (0, 1, 0) = x(0, 1, 1) + y(1, 0, 1) + z(1, 1, 0) ⇒      y + z = 0 x + z = 1 x + y = 0 ⇒ x = z = 1 2, y = −1 2 (0, 0, 1) = x(0, 1, 1) + y(1, 0, 1) + z(1, 1, 0) ⇒      y + z = 0 x + z = 0 x + y = 1 ⇒ x = y = 1 2, z = −1 2 Portanto, a matriz mudança de base procurada é: [I]C B =   − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2   . Seja o vetor v = (1, 2, 3), temos que as coordenadas de v em relação à base canônica é dada por [v]C =   1 2 3  . Encontremos as coordenadas do vetor v em relação à base B. [v]B = [I]C B[v]C =   − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2     1 2 3   =   2 1 0   . De fato, fazendo a combinação linear usando as coordenadas de v em relação à base B, temos 2(0, 1, 1) + 1(1, 0, 1) + 0(1, 1, 0) = (0, 2, 2) + (1, 0, 1) = (1, 2, 3) = v. Exemplo 3. Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de um espaço vetorial V relacionadas da seguinte forma:      g1 = e1 + e2 − e3 g2 = 2e2 + 3e3 g3 = 3e1 + e3 . 1. Determine M C B (é a mesma matriz mudança de base de B para C, com outra notação) e M B C . Calculamos M C B . O sistema que representa esta mudança é o dado no enunciado da questão. Logo, a matriz mudança de base é: M C B =   1 0 3 1 2 0 −1 3 1   . Como M B C = (M C B )−1 então basta calcular a inversa da matriz M C B :   1 0 3 | 1 0 0 1 2 0 | 0 1 0 −1 3 1 | 0 0 1   Basta transformar a matriz da esquerda em uma matriz na forma escada. Assim, auto- maticamente a matriz da direita será a matriz inversa procurada. L2 = L1 − L2; L3 = L1 + L3   1 0 3 | 1 0 0 0 −2 3 | 1 −1 0 0 3 4 | 1 0 1   L2 = L3 + L2   1 0 3 | 1 0 0 0 1 7 | 2 −1 1 0 3 4 | 1 0 1   L3 = 3L2 − L3   1 0 3 | 1 0 0 0 1 7 | 2 −1 1 0 0 17 | 5 −3 2   L3 = 1 17L3   1 0 3 | 1 0 0 0 1 7 | 2 −1 1 0 0 1 | 5 17 − 3 17 2 17   L1 = −3L3 + L1; L2 = −7L3 + L2   1 0 0 | 2 17 9 17 − 6 17 0 1 0 | − 1 17 4 17 3 17 0 0 1 | 5 17 − 3 17 2 17   Portanto, M B C =   2 17 9 17 − 6 17 − 1 17 4 17 3 17 5 17 − 3 17 2 17   . 2. Se [v]B =   1 3 2  , encontre [v]C. Sabemos que [v]C = M B C [v]B então [v]C =   2 17 9 17 − 6 17 − 1 17 4 17 3 17 5 17 − 3 17 2 17     1 3 2   =   1 1 0   . 3. Se [u]C =   2 3 −1  , encontre [u]B. Sabemos que [u]B = M C B [u]C então [u]B =   1 0 3 1 2 0 −1 3 1     2 3 −1   =   −1 8 6   . Exemplo 4. Considere o seguinte subespago de M»(R): W = ‘(3 ‘) € Mo(R):2-y-2=0h. 1. Mostre que 1 1 1 0 0 0 Pio a) Go) Go t)f e 1 0 0 -l 0 0 {Cio} a )Co 1) sao bases de W. Para o conjunto B, temos que provar a independéncia linear. 1 1 4b 1 0 1 00)\ /0 0 “\0 0 10)/**\o1) (oo o que implica no sistema a+b=0 a=0 b=0 c=0 Logo, o conjunto B é LI. Agora temos que mostrar que o conjunto B gera W. Perceba que qualquer elemento de W, pode ser escrito da seguinte forma: x Yy _ 1 1 1 0 0 0 (7, 1) ~ (4 5) +8( 4 0) *°\o1 _ a+ba 7 b 6¢ at+b=2 — Jory b=ar-y | c=t Portanto, o sistema € possivel e determinando. Logo, B gera W, i.e., B é base de W. Resolve-se de maneira andloga para o conjunto C (FACGA!). 2. Encontre M§ e M@. Facamos Mf. Para isto, escrevemos os vetores da base C como combinagao linear dos vetores da base B. 1 0 1 1 0 0 0 a= (; | - “(4 5) Cy s)re(y 1) b=1 c=0 0 -1 11 1 0 0 0 ot (; ; ) - “(4 5) Cy s)re(y 1) b=1 c=0 0 0 11 1 0 0 0 a= ( 1) - (4 5) +( 4 s)te(9 1) b=0 c=1 Dai, 0 -1 O Mg={1 1 0 |. 0 0 1 Facgamos M&. Para isto, escrevemos os vetores da base B como combinagao linear dos vetores da base C’. 1 1 0 0 -1 0 0 at (4 ‘) - “(| 5) eC | ; Jre(G 1)? b=-1 c=0 1 0 1 0 0 -1 0 0 oot (; | - (| 5) +e( | ; Jee(G 1) b=0 c=0 0 0 1 0 0-1 0 0 a= (} 1) - “(| 5) eC | , Jre(G i)? b=0 c=1 Dat, tome os coeficientes de cada equagao acima e monte cada coluna da matriz mudan¢a de base: 1 1 0 Mé@={ -1 0 0 }. 0 O01 3. Encontre uma base D de W tal que a matriz 1 10 P={0 0 2 0 3 1 seja a matriz mudanga de base da base D para a base B, isto é, P = MB. Sabemos que a dimensao de W € igual a 3. Dat a base D tem exatamente 3 elementos, i.e, D={X,Y,Z}. Para construir a matriz MZ, devemos tomar os elementos de B e escrever como combinacao linear dos elementos da base D: 1 1 (4 0 ) =aX +bY +cZ Poy dX +eY + fZ 1 0 0 0 , ( 1 ) =gX +hY +72, ou seja, a matriz mudanca de base é ad g 1 1 0 MB=| beh }={00 2]. c f 4 03 1 Logo, 1 1 1 1 =X+0Y +0Z =X 0 0 0 0 1 0 1 0 =X+0Y+3Z => =X+4+3Z2 1 0 1 0 0° =O0X+2Y4+Z 0° =2Y +2 0 1 0 1 Da segunda equagao matricial, temos 1 0 3Z = ( 1 0 ) —_X => 1 0 1 1 32 = (; D)- (6 >) 0 -1 3Z = ( 1 0 ) => g —2 (150 3 0 Da terceira equagao matricial, temos ay= (9 8) gsoy=(? OF 0-3 sy-=( ° 6 ~\O 1 ~\O 1 5 0 ~\ i 5) Logo, 11 0 ¢ 0 —3 Ptlo oC G wy oo} Lat) (a é a base procurada. Exemplo 5 (Exercicio). Considere as bases B = {1,1+t,1+t?} eC = {1,t,t?} do espaco vetorial P2(R): 1. Determine M§ e M8. 8 2. Se |lvlc= | —-1 |, encontre [v|p. 6 3. Se D = {1,t,t?} € a base canénica de Po(R), encontre MR e MS. Bons estudos!