Listas de Álgebra Linear

2𝑎 Lista de Exercícios Álgebra Linear Base e Dimensão 1 Quais dos seguintes subconjuntos do R3 são linearmente independentes a 1 1 1 1 0 1 1 0 2 b 1 1 1 1 2 1 3 2 1 c 1 2 3 1 4 9 1 8 27 2 Quais dos seguintes subconjuntos do 𝒫4R são linearmente independentes a 1 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 1 𝑥2 b 𝑥𝑥 1 𝑥3 2𝑥3 𝑥2 𝑥 c 𝑥4 𝑥 1 𝑥3 𝑥 1 𝑥2 1 3 Determinar os valores de 𝑚 e 𝑛 para que 6 2 𝑛 3 𝑚 𝑛 𝑚 1 R3 seja linearmente independente 4 Determine uma base e a dimensão do subespaço 𝑊 de R4 onde 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 R4 𝑥 𝑦 𝑦 e 𝑥 3𝑦 𝑡 0 5 Determine uma base e a dimensão do subespaço 𝑈 de R4 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑥 𝑦 0 e 𝑥 2𝑦 𝑡 0 6 Considere os seguintes subespaços de R3 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 2𝑧 0 𝑊 1 1 0 0 0 2 Determinar uma base e a dimensão de cada um dos subespaços 𝑈 𝑉 𝑊 𝑈 𝑉 𝑉 𝑊 e 𝑈 𝑉 𝑊 7 Mostre que 1 1 𝑡 1 𝑡2 1 𝑡 𝑡2 𝑡3 é uma base 𝒫3R 8 Determine uma base de R4 que contenha os vetores 1 1 1 0 1 1 2 1 9 Para quais valores de 𝑎 R o seguinte conjunto é uma base de R3 𝐵 𝑎 1 0 1 𝑎 1 0 1 𝑎 10 Determinar as coordenadas do vetor 𝑢 4 5 3 R3 em relação as seguintes bases a 1 1 1 1 2 0 3 1 0 b 1 2 1 0 3 2 1 1 4 11 Determinar as coordenadas do polinômio 𝑡3 em relação à base de 𝒫3R 𝐵 1 2 𝑡 𝑡2 1 1 𝑡 𝑡3 A matriz de mudança de uma base 𝐵 do R2 para a base 1 1 0 2 do R2 é 1 0 2 3 Determinar a base 𝐵 12 A matriz mudança da base 1 𝑡 1 𝑡2 de 𝒫2R para uma base 𝐶 de 𝒫2R é 1 2 1 1 Determinar a base 𝐶 13 Considere o seguinte subespaço vetorial de M2R 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 0 a Mostre que os seguintes subconjuntos de M2R são bases de 𝑈 𝐵 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 𝐶 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 b Determine a matriz mudança de base de 𝐵 para 𝐶 e de 𝐶 para 𝐵 c Determine uma base 𝐷 de 𝑈 de tal maneira que a matriz de mudança da base 𝐷 para 𝐵 seja 1 1 0 0 0 2 0 3 1 14 Considere a matriz mudança de base 𝑃𝐵 𝐶 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Determine a 𝑢𝐶 onde 𝑢𝐵 1 2 3 b 𝑢𝐵 onde 𝑢𝐶 1 2 3 3𝑎 Lista de Exercícios Álgebra Linear Transformações Lineares Núcleo e Imagem Teorema do Núcleo e da Imagem Isomorfismo 1 Verifique se a aplicação 𝑇 R3 R2 definida por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 𝑦 é linear 2 Verifique se é linear a aplicação 𝑇 R3 R dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 3𝑦 7𝑧 3 Mostre que 𝑇 R2 𝐶0 1 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑡 𝑦𝑒2𝑡 é uma transformação linear 4 Sabendo que 𝑇 R2 R2 é um operador linear e que 𝑇1 2 3 1 𝑇0 1 1 2 determine 𝑇𝑥 𝑦 onde 𝑥 𝑦 é um vetor genérico de R2 5 Quais das seguintes aplicações de R3 em R3 são operadores lineares a 𝑇1𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 b 𝑇2𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 0 0 c 𝑇3𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥2 3𝑦 𝑥 𝑧 6 Verifique se são operadores lineares no espaço 𝒫𝑛R a 𝑇𝑝𝑥 𝑥𝑝𝑥 b 𝑇𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑥2𝑝𝑥 7 Seja 𝑇 R3 R3 o operador linear assim definido na base canônica 𝑇1 0 0 2 3 1 𝑇0 1 0 5 2 7 e 𝑇0 0 1 2 0 7 Determine 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 onde 𝑥 𝑦 𝑧 é um vetor genérico do R3 8 Seja 𝑇 o operador linear do R2 tal que 𝑇1 0 2 1 e 𝑇0 1 1 4 a Determinar 𝑇2 4 b Determinar 𝑥 𝑦 R2 tal que 𝑇𝑥 𝑦 2 3 c Mostre que 𝑇 é bijetor 9 Seja 𝑇 R2 R dada por 𝑇𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 a Mostre que 𝑇 é transformação linear b Determine os subespaços vetoriais núcleo 𝐾𝑒𝑟𝑇 e a imagem 𝐼𝑚𝑇 c Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais 𝐾𝑒𝑟𝑇 e 𝐼𝑚𝑇 d Determine a dimensão do 𝐾𝑒𝑟𝑇 e da 𝐼𝑚𝑇 10 Seja 𝑇 R3 R2 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 5𝑧 𝑥 4𝑦 𝑧 a Mostre que 𝑇 é transformação linear b Determine os subespaços vetoriais núcleo 𝐾𝑒𝑟𝑇 e a imagem 𝐼𝑚𝑇 c Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais 𝐾𝑒𝑟𝑇 e 𝐼𝑚𝑇 d Determine a dimensão do 𝐾𝑒𝑟𝑇 e da 𝐼𝑚𝑇 11 Seja 𝑇 𝒫2R 𝒫3R dada por 𝑇𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑥 𝑝𝑥 a Mostre que 𝑇 é uma transformação linear b Determine 𝐾𝑒𝑟𝑇 c 𝑇 é injetora 12 Seja 𝑇 R3 𝒫3R a transformação linear tal que 𝑇1 0 0 2 𝑥2 𝑥3 𝑇0 1 0 1 𝑥2 𝑇0 0 1 𝑥2 𝑥3 a Determine 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 b Determine uma base para o subespaço 𝐼𝑚𝑇 13 Determine um operador linear em R4 tal que 𝐾𝑒𝑟𝑇 1 0 1 0 0 1 0 1 14 Verifique se os seguintes operadores lineares do R3 são bijetores a 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑦 4𝑧 𝑧 b 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑧 15 Mostre que o operador linear 𝑇 do R3 dado por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑧 𝑦 é um automorfismo Determine 𝑇 1 16 A aplicação linear 𝑇 R3 R3 dada por 𝑇1 0 0 1 1 0 𝑇0 1 0 0 0 1 e 𝑇0 0 1 1 1 6 é um automorfismo 17 Mostre que 𝑇 R3 R4 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 é injetora mas não é isomorfismo de R3 em R4 18 Considere o operador linear do R3 definido por 𝑇1 0 0 1 1 1 𝑇0 1 0 1 0 1 e 𝑇0 1 2 0 0 4 𝑇 é inversível Se for determine o isomorfismo inverso 19 Sejam 𝑇 𝐺 ℒR3 assim definidos 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 e 𝐺𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑧 Determinar a 𝑇 𝐺 b 𝐾𝑒𝑟𝑇 𝐺 e 𝐼𝑚𝐺 𝑇 c uma base e a dimensão de 𝐾𝑒𝑟𝑇 2 𝐺 20 Sejam 𝑇 ℒR2 R3 e 𝐺 ℒR3 R2 assim definidas 𝑇𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑥 𝑦 e 𝐺𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 3𝑧 Determine 𝑇 𝐺 𝑇 21 Determine se os seguintes operadores do ℛ3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas a 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 b 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 𝑦 c 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑧 d 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 0 0 𝑥 1𝑎 Lista de Exercícios Álgebra Linear Espaços e Subespaços Vetoriais 1 Mostre que o conjunto R3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 R é um espaço vetorial real com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar dadas por 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 𝛼𝑥 𝑦 𝑧 𝛼𝑥 𝛼𝑦 𝛼𝑧 2 Seja 𝐼 um intervalo de R e indiquemos por 𝐶𝐼 o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo 𝐼 e tomando valores reais Mostre que 𝐶𝐼 é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por 𝑓 𝑔𝑡 𝑓𝑡 𝑔𝑡 𝑡 𝐼 𝛽𝑓𝑡 𝛽𝑓𝑡 𝑡 𝐼 3 Seja 𝑉 o conjunto dos pares ordenados de números reais ou seja 𝑉 𝑥 𝑦 R2 𝑥 𝑦 R Definamos 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 2𝑥1 2𝑦1 𝑥1 𝑦1 𝛼𝑥 𝑦 3𝛼𝑦 𝛼𝑥 Com essas operações definidas sobre 𝑉 este conjunto é um espaço vetorial sobre R 4 Mostre que o conjunto 𝑉 𝑥 𝑦 R2 𝑥 𝑦 R é um espaço vetorial sobre R com as operações 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥1 𝑥2 5 𝑦1 𝑦2 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 5𝛼 1 𝛼𝑦 𝛼 R 5 Mostre que o conjunto 𝑊 𝑥 𝑦 R2 𝑦 0 é um subespaço vetorial do R2 6 Verifique em cada caso se os conjuntos dados são subespaços vetoriais do espaço vetorial 𝑉 M𝑛R das matrizes de ordem 𝑛 com as operações usuais a 𝑆1 𝐴 𝑉 𝐴2 𝐴 b 𝑆2 𝐴 𝑉 𝐴𝑡 𝐴 c 𝑆3 𝐴 𝑉 𝐴𝑡 𝐴 d 𝑆4 𝐴 𝑉 det𝐴 0 7 Mostre que o espaço vetorial 𝑉 M𝑛R é soma direta de 𝑆2 e 𝑆3 do item anterior isto é 𝑉 𝑆2 𝑆3 8 Seja 𝐼 0 1 Verifique se são subespaços vetoriais de 𝐶𝐼 a 𝑓 𝐶𝐼 𝑓0 0 b 𝑓 𝐶𝐼 1 0 𝑓𝑡𝑑𝑡 0 c 𝑓 𝐶𝐼 𝑓0 𝑓1 9 Determinar um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de R4 a 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 R4 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 b 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 R4 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 10 Dados os subespaços 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 R3 𝑥𝑦 0 e 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 R3 𝑥 0 do R3 determinar o subespaço 𝑈 𝑉 11 São subespaços vetoriais de 𝐶𝐼 os seguintes subconjuntos 𝑈 𝑓 𝐶𝐼 𝑓𝑡 𝑓𝑡 𝑡 R 𝑉 𝑓 𝐶𝐼 𝑓𝑡 𝑓𝑡 𝑡 R Mostre que 𝐶𝐼 𝑈 𝑉 12 Mostre que os poinômios 1 𝑡 1 𝑡2 1 𝑡3 e 1 geram 𝒫3R 13 Determine um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R3 a 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 0 b 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 0 e 𝑥 2𝑦 0 c 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 3𝑧 0 d 𝑈 𝑉 e 𝑉 𝑊 14 Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2R 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2