Transformações Lineares Teorema do Núcleo e da Imagem Isomorfismo

3𝑎 Lista de Exercícios Álgebra Linear Transformações Lineares Núcleo e Imagem Teorema do Núcleo e da Imagem Isomorfismo 1 Verifique se a aplicação 𝑇 R3 R2 definida por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 𝑦 é linear 2 Verifique se é linear a aplicação 𝑇 R3 R dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 3𝑦 7𝑧 3 Mostre que 𝑇 R2 𝐶0 1 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑡 𝑦𝑒2𝑡 é uma transformação linear 4 Sabendo que 𝑇 R2 R2 é um operador linear e que 𝑇1 2 3 1 𝑇0 1 1 2 determine 𝑇𝑥 𝑦 onde 𝑥 𝑦 é um vetor genérico de R2 5 Quais das seguintes aplicações de R3 em R3 são operadores lineares a 𝑇1𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 b 𝑇2𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 0 0 c 𝑇3𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥2 3𝑦 𝑥 𝑧 6 Verifique se são operadores lineares no espaço 𝒫𝑛R a 𝑇𝑝𝑥 𝑥𝑝𝑥 b 𝑇𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑥2𝑝𝑥 7 Seja 𝑇 R3 R3 o operador linear assim definido na base canônica 𝑇1 0 0 2 3 1 𝑇0 1 0 5 2 7 e 𝑇0 0 1 2 0 7 Determine 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 onde 𝑥 𝑦 𝑧 é um vetor genérico do R3 8 Seja 𝑇 o operador linear do R2 tal que 𝑇1 0 2 1 e 𝑇0 1 1 4 a Determinar 𝑇2 4 b Determinar 𝑥 𝑦 R2 tal que 𝑇𝑥 𝑦 2 3 c Mostre que 𝑇 é bijetor 9 Seja 𝑇 R2 R dada por 𝑇𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 a Mostre que 𝑇 é transformação linear b Determine os subespaços vetoriais núcleo 𝐾𝑒𝑟𝑇 e a imagem 𝐼𝑚𝑇 c Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais 𝐾𝑒𝑟𝑇 e 𝐼𝑚𝑇 d Determine a dimensão do 𝐾𝑒𝑟𝑇 e da 𝐼𝑚𝑇 10 Seja 𝑇 R3 R2 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 5𝑧 𝑥 4𝑦 𝑧 a Mostre que 𝑇 é transformação linear b Determine os subespaços vetoriais núcleo 𝐾𝑒𝑟𝑇 e a imagem 𝐼𝑚𝑇 c Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais 𝐾𝑒𝑟𝑇 e 𝐼𝑚𝑇 d Determine a dimensão do 𝐾𝑒𝑟𝑇 e da 𝐼𝑚𝑇 11 Seja 𝑇 𝒫2R 𝒫3R dada por 𝑇𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑥 𝑝𝑥 a Mostre que 𝑇 é uma transformação linear b Determine 𝐾𝑒𝑟𝑇 c 𝑇 é injetora 12 Seja 𝑇 R3 𝒫3R a transformação linear tal que 𝑇1 0 0 2 𝑥2 𝑥3 𝑇0 1 0 1 𝑥2 𝑇0 0 1 𝑥2 𝑥3 a Determine 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 b Determine uma base para o subespaço 𝐼𝑚𝑇 13 Determine um operador linear em R4 tal que 𝐾𝑒𝑟𝑇 1 0 1 0 0 1 0 1 14 Verifique se os seguintes operadores lineares do R3 são bijetores a 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑦 4𝑧 𝑧 b 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑧 15 Mostre que o operador linear 𝑇 do R3 dado por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑧 𝑦 é um automorfismo Determine 𝑇 1 16 A aplicação linear 𝑇 R3 R3 dada por 𝑇1 0 0 1 1 0 𝑇0 1 0 0 0 1 e 𝑇0 0 1 1 1 6 é um automorfismo 17 Mostre que 𝑇 R3 R4 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 é injetora mas não é isomorfismo de R3 em R4 18 Considere o operador linear do R3 definido por 𝑇1 0 0 1 1 1 𝑇0 1 0 1 0 1 e 𝑇0 1 2 0 0 4 𝑇 é inversível Se for determine o isomorfismo inverso 19 Sejam 𝑇 𝐺 ℒR3 assim definidos 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 e 𝐺𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑧 Determinar a 𝑇 𝐺 b 𝐾𝑒𝑟𝑇 𝐺 e 𝐼𝑚𝐺 𝑇 c uma base e a dimensão de 𝐾𝑒𝑟𝑇 2 𝐺 20 Sejam 𝑇 ℒR2 R3 e 𝐺 ℒR3 R2 assim definidas 𝑇𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑥 𝑦 e 𝐺𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 3𝑧 Determine 𝑇 𝐺 𝑇 21 Determine se os seguintes operadores do ℛ3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas a 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 b 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 𝑦 c 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑧 d 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 0 0 𝑥