P2 - Álgebra Linear 2015 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: _-------- Data: __/__/2015 Nota: _____--__- 2° Prova de Algebra Linear (10 pontos) ee 3. 2 1 -7 0 1 3.4 . 4 1 0 6 0 -3 10 4 00 0 0 1) Seam A=) 5 9 9 ofP=Jo 0 0 1 S=}]3 0-22) 03 14 0 0 O 2 01 3 0 3 8 —-l 6 -1 00 £0 0 —2 10 2 4 03 0 O 3 P=) _5 9 3 2/F=} 002 of °o=] a] 1 2 7 —4 0 0 0 -2 —4 (a) (1 ponto) Calcule o determinante de A por expansao em cofatores. (b) (1 ponto) Calcule o determinante de A por redugao por linhas. (c) (1 ponto) Calcule os determinantes das matrizes B e C, De E*. (c) (1 ponto) Calcule os determinantes das matrizes —3A e (A?A‘). (d) (0,5 ponto) A matriz A é invertivel? Justifique. (e) (0,5 ponto) A matriz AB é invertivel? Justifique. (f) (0,5 ponto) O que vocé pode dizer quanto ao numero de solugées do sistema linear A®x = b? Caso o sistema tenha solucao, vocé pode determinar uma expressao para representar a(s) solugao(des) do sistema A°x = b? (g) (0,5 ponto) O que vocé pode dizer quanto ao nimero de solugées do sistema linear ho- mogéneo (AF)*z = 0? 2) Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se A? = —A. —> (a) (0,5 ponto) Se A for anti-simétrica invertivel, A~1 também sera anti-simétrica? __—> (b) (1 ponto) Se A e B forem matrizes anti-simétricas de mesmo tamanho, prove que as matrizes A’, A+ B, A— Be kA também serao anti-simétricas, para qualquer escalar k. 3 —-l 0 3) (1 ponto) Seja A = 2 4 1 |. Construa uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica JA -1 52 a partir de A. 4) (1,5 ponto) Seja N o conjunto de todas as matrizes 2 X 2 da forma Ss a+ ; | com a adicao matricial e a multiplicagaéo matricial por escalar. Determine quais dos axiomas de espaco vetorial falham. Obs: TODAS as questoes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1