Slide - Exemplos de Subespaços Vetoriais 2022 2

Subespaços Vetoriais (Exemplos) Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Em resumo, para identificar se um conjunto W é subespaço de um espaço vetorial V, devemos verificar: 1) se W ⊆ V ; 2) se as operações de soma  e multiplicação por escalar ❊ definidas em V são as mesmas de W; 3) se a soma  herdada de V é fechada em W; 4) se a multiplicação por escalar ❊ herdada de V é fechada em W. Subespaços Vetoriais (V, , ❊) (W, , ❊) 2 Considere o espaço vetorial R2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em R2. Se r é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano, então r é subespaço de R2, pois Exemplo: Retas que passam pela Origem r x y 1) A reta r está contida em R2; 2) Considerando as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de R2, podemos observar que na reta r : ▪ A soma é fechada em r, pois se tomarmos dois vetores u e v da reta r, então eles estão alinhados, e daí, a soma de dois vetores alinhados numa reta que passa pela origem continua no mesmo alinhamento, ou seja, o vetor soma u+v Є r; u v 3 Considere o espaço vetorial R2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em R2. Se r é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano, então r é subespaço de R2, pois Exemplo: Retas que passam pela Origem r x y 1) A reta r está contida em R2; 2) Considerando as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de R2, podemos observar que na reta r : ▪ A soma é fechada em r, pois se tomarmos dois vetores u e v da reta r, então eles estão alinhados, e daí, a soma de dois vetores alinhados numa reta que passa pela origem continua no mesmo alinhamento, ou seja, o vetor soma u+v Є r; u v u+v 4 Considere o espaço vetorial R2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em R2. Se r é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano, então r é subespaço de R2, pois Exemplo: Retas que passam pela Origem r x y 1) A reta r está contida em R2; 2) Considerando as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de R2, podemos observar que na reta r : ▪ A soma é fechada em r, pois se tomarmos dois vetores u e v da reta r, então eles estão alinhados, e daí, a soma de dois vetores alinhados numa reta que passa pela origem continua no mesmo alinhamento, ou seja, o vetor soma u+v Є r; ▪ A multiplicação de um escalar é fechada em r, pois se k é um escalar e se v é um vetor da reta r, então k·v é um vetor alinhado com v, e por isso estará na reta r. Ou seja, k·v Є r. v kv Ou seja, cada reta r que passa pela origem do espaço R2, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em R2 é um subespaço de R2. Exemplo: Retas que passam pela Origem r x y 6 Seja W = { (x,y) Є R2 | x ≥ 0 e y ≥ 0 } = 1º quadrante. W com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de R2 não é subespaço de R2, pois a multiplicação por escalar não é fechada em W: Exemplo: Um subconjunto de R2 que não é subespaço W x y 7 Considere u = (x,y) = (2,3) Є W e considere o escalar k = -1. Observe que v = k·(2,3) = (-1)·(2,3) = (-2, -3) ∉ W Logo, W não é subespaço de R2. u 2 3 v Obs. Qualquer espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços: ▪ O próprio V; ▪ O conjunto unitário {0} consistindo do vetor nulo (elemento neutro da soma) do espaço V. Neste caso, W = {0} é chamado subespaço nulo de V. Subespaços certos de um espaço vetorial qualquer V 8 Obs. Pode ser mostrado que os únicos subespaços de R2 são: ▪ O subespaço nulo de R2 : W = {0} = { (0,0) } ; ▪ Cada reta r que passa pela origem; ▪ O próprio R2. Subespaços de R2 9 Obs. Pode ser mostrado que os únicos subespaços de R3 são: ▪ O subespaço nulo de R3 : W = {0} = { (0,0,0) } ; ▪ Cada reta r que passa pela origem; ▪ Cada plano ¶ que contém a origem; ▪ O próprio R3. Subespaços de R3 10