P3 - Álgebra Linear 2015 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: _-------- Data: __/__/2015 Nota: _____--__- 3* Prova de Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja NV o conjunto de todas as matrizes A de tamanho nXn tais que AB = BA para uma matriz fixa B de tamanho nXn . Determine se NV é subespaco de Myn. 2) (1 ponto) Sejam p(x) = 4x? — 324-2, po(x) = —2? + 22-1, p3(x) = 22 +1 e p(x) = 2x? —5r —-3. p © ger{p, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combinacao linear de pi, Pz € p3. 3) (3 pontos) Com relacao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de vetores em R? sao linearmente dependentes? 2. Quais sao as dimensoes dos espacos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para R*? 4. Quais dos conjuntos de vetores sAo conjunto de geradores para R*? (a) (3, -1,2), (—6, 3, 4); (b) (2, 3, —4), (5, 1, 1), (1, —5, 9); (c) (1, 1, —1), (2, 1,4), (1, 2, 0), (3, 1, 2). 4) (1 ponto) Seja T : Mg. — R dada pela expressio abaixo. Determine se T é ou nao é uma transformacgao linear. a b _ 2 r(| ‘ |) = (a +5). 5) Seja T : R? > R? o operador linear tal que 2 1 0 T(e1) = 1 5 T (e2) = —l e T(e3) = 2 5 4 —1 4 onde {e€1, €2, e3} 6 a base candnica de R? (a) (1 ponto) Encontre uma formula para T([x, 22 %3]") e use a f6rmula para calcular T([3 0 — 2]*). (b) (0,5 ponto) O vetor v = [4 —8 6] pertence ao Nicleo de T? (c) (0,5 ponto) O vetor w = [4 1 6]’ pertence & Imagem de T’? (d) (1 ponto) Determine o Nicleo de T e encontre uma base para esse espaco vetorial. (e) (0.5 ponto) Determine a dimensao do Niicleo de T. (f) (0.5 ponto) Determine a dimensao da Imagem de T’. Obs: TODAS as questoes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1