P3 - Álgebra Linear 2017 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: _-- Data: __/__/2017 Nota: _____--__- 3* Prova de Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja A o conjunto de todas as matrizes quadradas com coeficientes reais A de ordem n tais que tr(A) = 0. Determine se A é ou nao subespacgo de Mnn. . 1 3 2 1 1 0 3 1 4 -l 2) (4 pontos) Sejam A, = i 5 fda F tae F 5 [sae i yf ds F >| —2 4 e Ag = 0 0 I Sendo A = ger{Aj, Ag, A3, As, As, Ag}, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas: (a) O conjunto {A,, Az, A3, Ay, As, Ag} é linearmente dependente ou linearmente indepen- dente? (b) Esse conjunto matrizes gera o espago M9? (c) Qual é a dimensao do espaco A gerado por este conjunto de matrizes? (d) {A,, Az, A3, Aa, As, Ao} forma uma base para Mp2? Se nao, extraia uma base de M22 de dentro deste conjunto. 3) (2 pontos) Sejam pi(x) = 327-2 +2, po(x) = 22? —-1, p3(x) = 42? 4 22-2 € p(x) = —42? +62 —5. p © ger{p, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combinacao linear de pi, Pz € p3. 5 6 2 4) Seja A=} 0 -1 -8 }. 1 0 -2 (a) (1 ponto) Encontre a equacao caracteristica de A. (b) (2 pontos) Encontre os autovalores de A, os autovetores associados e as bases dos seus auto-espacos. Obs: TODAS as questoes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1