Slide - Dimensão - Álgebra Linear 2022 2

Dimensão Seção 4.5 - Dimensão Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Definição. Um espaço vetorial V ≠ {0} tem dimensão finita se contém uma base B = {v1, v2, ..., vn} finita de vetores em V. Neste caso, dizemos que a dimensão de V é n e denotamos por: dim(V) = n . Se V não contiver uma base finita, dizemos que V tem dimensão infinita. Consideramos que o espaço vetorial nulo (aquele que contém somente o vetor nulo) tem dimensão finita igual a zero. Dimensão Exemplo. Já vimos que C = {i, j, k} é a base canônica de R3. Esta base também pode ser representada por: C = {e1, e2, e3} lembrando que e1 = i = (1,0,0) e2 = j = (0,1,0) e3 = k = (0,0,1) Como esta base (e consequentemente todas as bases) de R3 contém 3 vetores, então R3 é um espaço vetorial de dimensão 3, ou seja, dim(R3) = 3 Exemplo. Já vimos que C = {e1, e2, ..., en} é a base canônica de Rn, sendo e1 = (1, 0, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, 0, ..., 0) e3 = (0, 0, 1, ..., 0) ⁝ en = (0, 0, 0, ..., 1) Como esta base (e consequentemente todas as bases) de Rn contém n vetores, então Rn é um espaço vetorial de dimensão n, ou seja, dim(Rn) = n Exemplo. Lembrando que Pn = espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e de grau ≤ n, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de polinômios, já vimos que a base mais simples deste espaço vetorial é C = {1, x, x2, ..., xn}. Como esta base (e consequentemente todas as bases) de Pn contém n+1 polinômios, então Pn é um espaço vetorial de dimensão n+1, ou seja, dim(Pn) = n+1 Exemplo. Lembrando que P2 = espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e de grau ≤ 2, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de polinômios, já vimos que a base mais simples deste espaço vetorial é C = {1, x, x2}. Como esta base (e consequentemente todas as bases) de P2 contém 2+1 = 3 polinômios, então P2 é um espaço vetorial de dimensão 3, ou seja, dim(P2) = 2+1 = 3 Exemplo. Lembrando que M22 = espaço vetorial de todos as matrizes com coeficientes reais de tamanho 2x2, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes, já vimos que a base mais simples deste espaço vetorial é C = {E11, E12, E21, E22}, sendo: Como esta base (e consequentemente todas as bases) de M22 contém 2·2 = 4 matrizes, então M22 é um espaço vetorial de dimensão 4, ou seja, dim(M22) = 2·2 = 4 E11 = 1 0 , 0 0 E12 = 0 1 , 0 0 E21 = 0 0 e 1 0 E22 = 0 0 . 0 1 Exemplo. Lembrando que Mmn = espaço vetorial de todos as matrizes com coeficientes reais de tamanho mxn, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes, já vimos que a base mais simples para este espaço vetorial tem m·n elementos e é C = {E11, ..., E1n, E21, ..., E2n, ... ..., Em1, ..., Emn}, sendo cada matriz Eij tem tamanho mxn e possui um 1 na posição ij e zeros em todas as outras entradas: Como esta base (e consequentemente todas as bases) de Mmn possui m·n matrizes, então Mmn é um espaço vetorial de dimensão m·n, ou seja, dim(Mmn) = m·n Eij = 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 0 ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ 0 0 0 ... 1 ... 0 ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ 0 0 0 ... 0 ... 0 linha i coluna j Exemplo. Lembrando que M23 = espaço vetorial de todos as matrizes com coeficientes reais de tamanho 2x3, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes, a base mais simples para este espaço vetorial tem 2·3 elementos e é C = {E11, E12, E13, E21, E22, E23}, sendo cada matriz Eij tem tamanho 2x3 e possui um 1 na posição ij e zeros nas demais entradas. Como esta base (e consequentemente todas as bases) de M23 possui 2·3 = 6 matrizes, então M23 é um espaço vetorial de dimensão 6, ou seja, dim(M23) = 2·3 = 6 Teorema. Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita, então dim(W) ≤ dim(V) . Além disso, se dim(W) = dim(V) então W = V. Dimensão de Subespaços