Slide - Mais sobre Dimensão 2022 2

Mais sobre Dimensão Seção 4.5 - Dimensão Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Lembrando: A dimensão de um espaço vetorial V que tem uma base finita B = {v1, v2, ..., vn} é dim(V) = no de vetores da base = n . Dimensão Teorema. Seja S um conjunto finito de vetores em um espaço vetorial V de dimensão finita. a) Se S gera V mas não é uma base de V, então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S. Dimensão e Geradores É que tem vetores sobrando em S, ou seja, S é um conjunto l.d. que gera V. Daí devemos remover vetores l.d. de S de maneira que sobrem n = dim(V) vetores l.i. Teorema. Seja S um conjunto finito de vetores em um espaço vetorial V de dimensão finita. a) Se S gera V mas não é uma base de V, então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S. b) Se S é um conjunto l.i. que não é base de V, então S pode ser ampliado para uma base de V acrescentando vetores apropriados em S. Dimensão e Geradores Teorema. Seja S = {v1, v2, ..., vr} um conjunto finito de vetores em um espaço vetorial V de dimensão finita, ou seja, dim(V) = n. a) Se S gera V e r > n, então podemos extrair uma base de V de dentro de S removendo vetores apropriados de S. b) Se S é um conjunto l.i. e r < n, então S pode ser ampliado para uma base de V acrescentando vetores apropriados em S. O Mesmo Teorema em outras palavras... Exemplo. Sejam v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0), v3 = (-1,0,2), v4 = (3,3,4) e v5 = (2,-3,1), e seja S = {v1, v2, v3, v4, v5}. Responda os itens a seguir. a) S é uma base de R3? b) S é l.i. ou l.d.? c) S gera R3? d) Se S não for uma base de R3, você consegue extrair uma base de R3 de dentro de S? Solução. a) Sabemos que dim(R3) = 3. Logo, como #S = 5 > 3, então S não é uma base de R3. b) Como S tem 5 elementos e 5 > dim(R3) = 3, então S é l.d.. c) Se conseguirmos encontrar 3 (= dim(R3)) vetores l.i. dentro de S, teremos a garantia de que S gera R3. Para isso, vamos fazer uma verificação a cada 3 vetores de S até achar um conjunto l.i., se for possível. Toda base de R3 tem 3 vetores. Exemplo. Sejam v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0), v3 = (-1,0,2), v4 = (3,3,4) e v5 = (2,-3,1), e seja S = {v1, v2, v3, v4, v5}. Responda os itens a seguir. Solução (continuação). c) Se conseguirmos encontrar 3 (= dim(R3)) vetores l.i. dentro de S, teremos a garantia de que S gera R3. Para isso, vamos fazer uma verificação a cada 3 vetores de S até achar um conjunto l.i., se for possível. Testando se v1, v2 e v3 são l.i. ou l.d.: 1 2 -1 2 9 0 1 0 2 A v1 v2 v3 det(A) = (18+0+0) – (-9+8+0) = 18 – (-1) = 18 + 1 = 19 ≠ 0 v1, v2 e v3 são l.i. Como são 3 (= dim(R3)) vetores l.i. de R3, então {v1, v2, v3} é uma base de R3 Como a base {v1, v2, v3} ⊆ S, então S gera R3 Exemplo. Sejam v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0), v3 = (-1,0,2), v4 = (3,3,4) e v5 = (2,-3,1), e seja S = {v1, v2, v3, v4, v5}. Responda os itens a seguir. a) S é uma base de R3? b) S é l.i. ou l.d.? c) S gera R3? d) Se S não for uma base de R3, você consegue extrair uma base de R3 de dentro de S? Solução. d) No item (c) já extraímos essa base de R3 de dentro de S: B = {v1, v2, v3}. Exemplo. Sejam v1 = (0,2,3) e v2 = (1,4,-1), e seja S = {v1, v2}. Responda os itens a seguir. a) S é uma base de R3? b) S é l.i. ou l.d.? c) S gera R3? d) Se S não for uma base de R3, você consegue estender S para obter uma base de R3? Solução. a) Sabemos que dim(R3) = 3. Logo, como #S = 2 < 3, então S não é uma base de R3. b) Como S tem 2 vetores e um vetor não é múltiplo do outro, então S é l.i.. c) Não, pois S tem menos elementos do que 3 = dim(R3). Toda base de R3 tem 3 vetores. Exemplo. Sejam v1 = (0,2,3) e v2 = (1,4,-1), e seja S = {v1, v2}. Responda os itens a seguir. d) Se S não for uma base de R3, você consegue estender S para obter uma base de R3? Solução. d) Basta encontrarmos um vetor v2 que fará {v1, v2 , v3} um conjunto l.i.. Tentando: se v3 = (1,0,0), então 0 1 1 2 4 0 3 -1 0 A v1 v2 v3 det(A) = (0+0-2) – (12+0+0) = -2 – 12 = -14 ≠ 0 v1, v2 e v3 são l.i. Como são 3 (= dim(R3)) vetores l.i. de R3, então {v1, v2, v3} é uma base de R3