Slide - Potências para uma Matriz 2021 2

Potências para uma Matriz Seção 5.1 - Autovalores e Autovetores Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Teorema. Se k é um inteiro positivo, λ é um autovalor de uma matriz A e x é um autovetor de A associado a λ, então: λk é um autovalor da matriz Ak e x é um autovetor associado. Autovalores e Autovetores de Potências de Matriz Exemplo. Já vimos na aula anterior que a matriz tem autovalores λ1 = 2 e λ2 = 1, e portanto, A tem dois autoespaços: ▪ O autoespaço associado ao autovalor λ1 = 2 tem base: e os autovetores de A associados ao autovalor λ1 = 2 são todos os vetores não nulos que são combinações lineares dos vetores da base B1. A = 0 0 -2 1 2 1 1 0 3 -1 0 B1 = 0 , 1 1 0 Essa base tem dois autovetores l.i. associados ao autovalor λ1= 2 da matriz A Exemplo. Já vimos na aula anterior que a matriz tem autovalores λ1 = 2 e λ2 = 1, e portanto, A tem dois autoespaços: ▪ O autoespaço associado ao autovalor λ2 = 1 tem base: e os autovetores de A associados ao autovalor λ2 = 1 são todos os vetores não nulos que são múltiplos do vetor da base B2. A = 0 0 -2 1 2 1 1 0 3 Essa base tem um autovetor l.i. associado ao autovalor λ2= 1 da matriz A -2 B2 = 1 1 Resumindo, para a matriz , temos: ▪ Autovetores l.i. associados ao autovalor λ1 = 2: ▪ Autovetor l.i. associado ao autovalor λ2 = 1: A = 0 0 -2 1 2 1 1 0 3 -1 0 u = 0 e v = 1 1 0 -2 w = 1 1 Pelo teorema visto nesta aula, por exemplo, para a matriz A5, temos que ▪ Os autovalores de A5 são: (λ1)5 = 25 = 32 e (λ2)5 = 15 = 1 ▪ Os autovetores l.i. associados ao autovalor λ = 32 de A5 são: ▪ O autovetor l.i. associado ao autovalor λ = 1 de A5 é: -1 0 u = 0 e v = 1 1 0 -2 w = 1 1 São os mesmos autovetores l.i. de A !!! Também, pelo teorema visto nesta aula, por exemplo, para a matriz A7, temos que ▪ Os autovalores de A7 são: (λ1)7 = 27 = 128 e (λ2)7 = 17 = 1 ▪ Os autovetores l.i. associados ao autovalor λ = 128 de A7 são: ▪ O autovetor l.i. associado ao autovalor λ = 1 de A7 é: -1 0 u = 0 e v = 1 1 0 -2 w = 1 1 São os mesmos autovetores l.i. de A !!!