Slide - Primeiro Teorema Espaços Vetoriais Arbitrarios 2022 2

Espaços Vetoriais Arbitrários (1º Teorema) Seção 4.1 - Espaços Vetoriais Reais Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Teorema. Sejam V um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0·u = 0 b) β∙0 = 0 c) (-1)∙u = -u d) Se β∙u = 0 , então β = 0 ou u = 0 Notação do livro elemento neutro da soma de V número real zero inverso aditivo de u em V Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 elemento neutro da soma de V número real zero Notação mais genérica, lembrando que as operações em V podem ser uma soma maluquinha e uma multiplicação por escalar maluquinha. inverso aditivo de u em V Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 elemento neutro da soma de V número real zero Demonstração. a) Você pode fazer: 0❊u  0❊u = (0+0)❊u = 0❊u Ou seja: 0❊u  0❊u = 0❊u Adicionando o inverso aditivo de 0❊u em ambos os lados desta equação, temos: 0❊u  0❊u  (-0❊u) = 0❊u  (-0❊u) 0❊u  0 = 0 0❊u = 0 Axioma 8: distributividade da soma de escalares com relação à multiplicação de escalar por vetor 0 0 0❊u ✓ inverso aditivo de u em V Demonstração. c) Observe que u  (-1)❊u = 1❊u  (-1)❊u = (1+(-1))❊u = 0❊u = 0 Ou seja: u  (-1)❊u = 0 (-1)❊u é o inverso aditivo de u Logo, (-1)❊u = -u Axioma 10 ✓ Axioma 8 Propriedade dos reais Demonstrado no item (a) Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 elemento neutro da soma de V número real zero inverso aditivo de u em V Demonstração. b) Como 0 é o elemento neutro da soma de , então u  0 = u . Fazendo u = 0, teremos que: 0  0 = 0 . Daí, β❊(0  0) = β❊0 β❊0  β❊0 = β❊0 Somando o inverso aditivo de em ambos os lados da última equação, temos que β❊0  β❊0  (-β❊0) = β❊0  (-β❊0) β❊0  0 = 0 β❊0 = 0 elemento neutro da soma em V 0 0 β❊0 ✓ Axioma 7 Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 ✓ ✓ Demonstração. d) Do item (b) temos que 0 = β❊0, para qualquer escalar β. Agora olhando para o item(d), suponha que β❊u = 0. Juntando as duas informações, temos que β❊u = 0 = β❊0 β❊u = β❊0 (*) Se β=0, ok! Se β≠0, então multiplique ambos os lados da equação (*) por 1/β : (1/β)❊(β❊u) = (1/β)❊(β❊0) ((1/β)∙β)❊u = ((1/β)∙β)❊0 1❊u = 1❊0 u = 0 Axioma 9 1 1 ✓ Axioma 10 Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 ✓ ✓ ✓ Teorema. Sejam (V, , ❊) um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0❊u = 0 b) β❊0 = 0 c) (-1)❊u = -u d) Se β❊u = 0 , então β = 0 ou u = 0 ✓ ✓ ✓ ✓ Notação mais genérica, lembrando que as operações em V podem ser uma soma maluquinha e uma multiplicação por escalar maluquinha. Teorema. Sejam V um espaço vetorial qualquer, u є V e β um escalar. São válidas as propriedades: a) 0·u = 0 b) β∙0 = 0 c) (-1)∙u = -u d) Se β∙u = 0 , então β = 0 ou u = 0 Notação do livro elemento neutro da soma de V número real zero