Slide - Lançamento de Poluentes em Meio Líquido 2022-1

LANÇAMENTO DE POLUENTES EM MEIO LÍQUIDO Recipiente • Difusão Pura ou Molecular Mecanismo físico através do qual existe transferência de uma determinada grandeza em determinado meio quando existe neste gradiente de um potencial. difusivo Fluxo de massa advectivo Advectivo Difus ivo Equação da difusão pura Equação do transporte ou equação difusão-advecção Trataremos, inicialmente, o problema difusivo puro a uma dimensão (1D). Em “meio” de águas tranquilas. • Função de Dirac x x M Após algumas manipulações algébricas, temos que: • Função de Gauss “Gaussiana” x w/2 w/2 10% 10% Substituindo II e III em I, temos: C(x, t) = \frac{M}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right] \bullet\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Aplicação Quer se determinar a extensão de isolamento w em que o nível de concentração cai a 10% da concentração C_0 de pico. Resolução: 0,10C_0 = C_0 exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right] 0,10 = exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right] Aplicando ln em ambos os lados, temos: -2,3 = \frac{-x^2}{2\sigma^2} x = \pm 2,14\ \sigma x \equiv \pm2\sigma w \equiv 4\sigma M C_0 x 10%C_0 10%C_0 w \equiv 4\sigma w = 4\sigma w = 4\sqrt{2D_0 t} Qual o percentual de massa despejada que está compreendida entre [-2\sigma, +2\sigma]? Resolução: % M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} \Rightarrow \int_{-2\sigma}^{+2\sigma} C(x, t) dx = \int_{-2\sigma}^{+2\sigma} \frac{M}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right] dx \eta^2 = \frac{x^2}{2\sigma^2}; \eta = \frac{x}{\sigma\sqrt{2}}; d\eta = \frac{dx}{\sigma\sqrt{2}} \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{M}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp[-\eta^2]\sigma\sqrt{2}\ d\eta \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{M}{\sqrt{\pi}} exp[-\eta^2] d\eta \frac{M}{\sqrt{\pi}} \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} exp[-\eta^2] d\eta Sabemos que: \int_{-\sqrt{2}}^{0} + \int_{0}^{\sqrt{2}} = - \int_{0}^{\sqrt{2}} + \int_{0}^{\sqrt{2}} Portanto, \frac{M}{\sqrt{\pi}} \left( - \int_{0}^{-\sqrt{2}} exp[-\eta^2] dn + \int_{0}^{\sqrt{2}} exp[-\eta^2] dn \right) Nota: Função erro: erf(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} exp[-\eta^2] dn erf(-z) = -erf(z) %M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} = \frac{M}{2} ( - erf(-\sqrt{2}) + erf(\sqrt{2})) %M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} = \frac{M}{2} (erf(\sqrt{2}) + erf(\sqrt{2})) %M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} = \frac{M}{2} (2erf(\sqrt{2})) %M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} = M (erf(\sqrt{2})) erf(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}( + \frac{x^1}{1.0!} - \frac{x^3}{3.1!} + \frac{x^5}{5.2!} - \frac{x^7}{7.3!} + \frac{x^9}{9.4!} - \frac{x^{11}}{11.5!} \ldots) \Rightarrow erf(\sqrt{2}) = 0,95 %M\big|_{-2\sigma}^{+2\sigma} = 0,95 M Portanto, entre -2\sigma e +2\sigma tem 95% da massa despejada.