Funções de Variáveis Complexas

UAB UFBA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA DISCIPLINA Variáveis Complexas SEM PROFESSOR Kleyber M da Cunha DATA 15102024 ALUNOA PÓLO TAREFA 4 Só serão aceitas as questões justificadas com os cálculos Valor da Tarefa é 15 pontos Entregar até o dia 24102021 Questão 1 Calcule as seguintes integrais a γ z1z³z1 dz onde γ é o círculo centrado em z0 e de raio 2 b 0 π6 e 2it dt Questão 2 Utilizando a Formula Integral de Cauchy calcule as integrais abaixo a γ 1z²2 dz onde γt 2 eit 0t2π b γ zz²z dz onde γt 1eit 0t2π Questão 3 Determine as singularidades das funções abaixo e classifiqueas como polo essencial ou removível a zexp1z b z²1z c sen zz d 12z³ Questão 4 Use o Teorema dos residuos para a calcular a integral da funções abaixo em torno da curva γ z z3 a fz expzz² b fz z1z²2z Veja que z²2 z2z2 Logo z 2 são singularidades de 1z²2 Como γ tem centro em 2 e raio 1 z 2 γ e z 2 γ Logo vamos aplicar a fórmula de Cauchy para z0 2 Noscos temos tomar fz 1z2 dado no gelo fz0 122 122 Assim γ fzz2 dz γ 1z2z2 dz 2πi fz0 2πi 122 πi2 b γ zz²z dz γt 1 eit 0t2π Veja que z²z zz1 z 0 e z 1 são os singularidades de zz²z Como γ tem centro em 1 e raio 1 z 0 γ e z 1 γ Dessa forma calculamos a integral para z0 0 e fz 1z1 Diz fz0 f0 1 γ zzz1 dz 2πi f0 2πi 3 Determine as singularidades a z exp1z fz z exp1z exp1z tem uma singularidade essencial em z0 1 a γ z 1z³z 1 γ é o círculo centrado em z0 e raio 2 Usaremos o teorema de residuos para encontrar essa integral Pelo teorema de residuos temos γ fz dz 2πi Res fi zn em que zn são os polos onde ocorrem as singularidades de fz Para encontrar os polos devemos observar em quais pontos o denominador da f é zero Assim z³ z 1 0 z³0 ou z1 0 com isso temos dois polos z0 que tem ordem 3 e z1 que tem ordem 1 Como γ é um círculo de centro em 0 e raio 2 então ambos os polos pertencem a γ Agora vamos calcular os residuos nos polos z1 polo simples Res f 1 lim z1 fz lim z1z1z³ z1 lim z1z³ z1 z1 21³ 2 z0 polo de ordem 3 Res f 0 lim 12 d²dz² z0³ fz z0 31 z0 lim d²dz² z³ fz 2 z0 12 lim d²dz² z1 12 4 2 ddz z³ fz z1z1z1² 2z1² d²dz² z³ fz 22z1z1⁴ 4z1³ Dai γ z1z3 z1 2πi Resf1 Resf0 2πi 22 8πi b 0π6 e2 i t dt e2i t cos2 t i sin2 t 0π6 e2 i t dt 0π6 cos2 t i sin2 t dt 0π6 cos2 t dt i 0π6 sin2 t dt 12 sin2 t 0π6 i 12 cos2 t 0π6 12 sinπ3 12 i sin0 12 i cosπ3 1 12 sinπ3 12 i cosπ3 1 12 32 12 i 12 1 34 14 i Q usando a fórmula integral de cauchy a γ 1z2 2 dz γt 2 ei t 0 t 2π A integral de cauchy para uma região fechada é dada por γ fzzz0 dz 2 π i fz0 z0 é um ponto na região b fz z2z2 1z 0 z 1 z 1 é a singularidade de fz além disso é um polo simples pois 1z é potência de 1 nos denominadores c fz sinzz sempre analítica z0 é singularidade de fz Como em z0 fz é indeterminado vamos expandir sinz em torno de z0 Taylor sinz sin0 sin0z 0 sin0z02 2 sin0z03 3 z z33 z55 Substituindo em fz sinzz times sinzz z z33 z55z 1 z23 z45 logo fz pode ser estendida de forma analítica em z0 Portanto z0 é uma singularidade removível d fz 1z23 223 0 zzz2z2 0 z2 é uma singularidade de ordem 3 pode γ z z3 círculo de raio 3 centrado da origem é analítica a fz expzz2 fz expzz2 tem um polo de ordem 2 em z0 Além disso c2 0 z 0 pertence a γ vamos calcular o residuo Resfz0 Resf0 lim z0 121 ddz z02 fz lim z0 ddz z2 fz lim z0 expz 1 Assim γ expzz2 dz 2πi Resf0 2πi b γ z1z2 2z dz z2 2z 0 z z2 0 z 0 e z 2 são polos de ordem 1 de fz z1z2 2z Como γ é o círculo de raio 3 e centro 0 então z 0 e z 2 estão em γ z0 Resf0 lim z0 z0 fz lim z0 z z 1z z2 lim z0 z1z2 12 z2 Resf0 lim z2 z2 fz lim z2 z1z 32 Daí γ z1zz2 dz 2πi 12 32 2πi